【数2微分】3次関数の最大値・最小値（文字を含む問題の解法を徹底解説）【実践編】

今回は3次関数の最大値、最小値を求める問題について、関数や定義域に文字を含んだ問題の解き方を解説していきます。「文字が含まれない3次関数の最大最小を求める問題であれば解けるのに、文字が入った途端難しくなる」という悩みを抱えた人は非常に多いので、ここで苦手を克服できれば周りと差をつけることができます。問題演習を通して解き方のコツをつかんでいきましょう。

　こんな人におすすめ

文字を含む問題の解き方のコツを知りたい！
分かりやすい解説がほしい！
受験対策として自分の実力を確認したい！

　本記事のレベル

重要度

低

1

2

3

4

5

高
難易度

易しい

1

2

3

4

5

難しい
暗記/理解

暗記重視

1

2

3

4

5

理解重視

hiroemon

数学教育アドバイザー

学校の授業では教えてくれない「数学の考え方」をわかりやすく解説。少しでも数学の疑問を解決する手助けとなるような情報を発信しています。

実績大学院を主席で卒業（MARCHレベル）
塾講師歴 6年

資格中学・高校教員免許保持
数学 / 理科（物理・化学・生物・地学）

出身千葉県

趣味

#ボルダリング #ラーメン巡り

【基礎講義】最大・最小となる場所は？
【問題＆解説】3次関数の最大値・最小値【文字を含む問題】
1. 【問題1】文字を含む3次関数の最大最小
2. 【問題2】定義域に文字を含む3次関数の最大最小
本記事のまとめ

【基礎講義】最大・最小となる場所は？

文字が含まれた関数の問題になると、グラフのどの点で最大値あるいは最小値をとるのか、急に考えるのが難しくなります。でも、多くの問題では次の2箇所で最大/最小となるので、覚えておくとよいでしょう。

Point：最大値・最小値をとる場所

極値または定義域の端点（右端 or 左端）で最大値、最小値をとる！

文字だと分かりにくいと思うので、最小値の場合を例に図で簡単に解説します。

まずは下図のように定義域（赤字部分）の中に極小値が含まれる場合を考えてみましょう。

この場合は、もちろん極小値が最小値となります。このように、定義域内に極値が含まれる場合は、最小値・最大値をとる点は極値になります。具体的には、極小値が最小値、極大値が最大値になります。

では極値が定義域の外側にある場合はどうでしょうか？例えば、下図のように極小値が定義域の右側にある場合を考えていましょう。

この場合、定義域の右端が最小値になります。逆に定義域の左側に極小値がある場合は、定義域の左端が最小値になります。

このように極値が定義域の外側にある場合は、最小値・最大値をとる点は定義域の端点になります。右端・左端のどちらで最小値・最大値をとるかは、3次関数のグラフを図示して確認する必要があります。

では、この基礎知識をもとに、今回は2つの問題を解いていきましょう。

【問題＆解説】3次関数の最大値・最小値【文字を含む問題】

【問題1】文字を含む3次関数の最大最小

文字を含む3次関数の最大最小

難易度：★★★☆

\(\small a\)を定数として、関数\(\small f(x)=-x^3+3ax\)（\(\small 0≦x≦1\)）の最大値とそのときの\(\small x\)の値を求めよ。

解法のPoint

■文字を含む3次関数の最大値・最小値の求め方
　・STEP1：グラフをかいて概形と極値を把握
　・STEP2：定義域とグラフの位置関係に着目して場合分けのパターンを確認
　・STEP3：場合分けのパターンごとに最大値を求める

　解説

3次関数の3次の係数が負であること、切片が0であることから、グラフの概形は以下のような原点を通る逆N字型になることがすぐ分かる。

次に、極値を確認していこう。

\begin{equation}
\begin{split}
\small f'(x)& \small =-3x^2+3a\\
& \small =\color{red}{-3(x^2-a) }\quad \cdots①\\
\end{split}
\end{equation}

極値では、①がゼロになるので

\begin{equation}
\begin{split}
\small -3( &\small x^2-a)=0\\
\small \Rightarrow \quad &\small x^2=a\\
\end{split}
\end{equation}

ここで、すぐに【\(\small x=\pm \sqrt{a}\)】としないように注意しよう。なぜなら、問題文には「\(\small a\)は定数」としか書かれてないので、負である可能性があるからだ。仮に、\(\small a=-4\)であれば、\(\small x^2=-4 \)は実数解を持たない、つまり、解なしとなる。

このことから、\(\small a<0\)と\(\small 0≦a\)で場合分けが必要になることが分かる。

(i) \(\small a<0 \)の場合
\(\small f'(x)=-3x^2+3a=-3(\color{red}{x^2-a})\color{blue}{<0}\) [※1]なので、関数\(\small f(x)\)は極値を持たず単調減少する関数となる。

\(\small f'(x)<0\)なので関数\(\small f(x)\)は単調減少となる

※1【補足】不等号について

*1の赤字部分 \(\small x^2-a\)は、\(\small a\)が負の場合、\(\small x^2\)は0以上の数（2乗だから）で、\(\small -a\)が正の数になるので、足すと『0以上の数』+『正の数』＝『正の数』なので全体として正の数になる。そこに、先頭の「-3」が掛け算されることで、『負の数』×『正の数)』=『負の数』となるため青字の「\(\small <0\)」の不等号になる。

よって、単調減少（右肩下がり）ということは、\(\small 0≦x≦1\)の範囲では、\(\small x=0\)のときに最大値をとり、その値は\(\small f(0)=-0^3+3a\cdot0=\color{red}0\)である…\(\small (*1)\)。

(ii) \(\small a≧0\)の場合
この場合は、式①が0になる解を持つことになるので、極値を持つパターン。
具体的に極値を求めると、
\begin{equation}
\begin{split}
\small -3( &\small x^2-a)=0\\
\small \Rightarrow \quad &\small x^2=a\\
\small \Rightarrow \quad &\small \color{red}{x=\pm \sqrt{a}}\\
\end{split}
\end{equation}
3次関数の\(\small x^3\)の係数が負であることから、増減表は下図のようになる。

増減表からグラフの概形は把握できた。よって、グラフの概形は以下の通り。

グラフと定義域\(\small 0≦x≦1\)の位置関係に着目すると、最大値をとる箇所は、【①】定義域の右側にある場合と【②】極大値が定義域内にある場合の2パターンに場合分けが必要なことが分かるだろう。

【①】極大値が定義域の右側にある場合

グラフと定義域の位置関係を図示すると以下の通り。

このような位置関係になるためには \(\small 1<\sqrt{a}\)、すなわち、\(\small \color{red}{1<a}\)を満たす必要がある。
このとき、最大値は、\(\small \color{red}{x=1}\)で\(\small f(1)=-1^3+3a\cdot 1=\color{red}{3a-1} \cdots(*2)\)となる。

【②】極大値が定義域内にある場合

定義域（赤線範囲）内に極大値（\(\small x=\sqrt{a}\)）が存在するためには、極大値と定義域が\(\small 0≦\sqrt{a}≦1\)を満たす必要があるので、\(\small \color{red}{0≦a≦1}\)が満たすべき条件となる。
このとき、最大値は、\(\small \color{red}{x=\sqrt{a}}\)で\(\small f(\sqrt{a})=-(\sqrt{a})^3+3a\cdot \sqrt{a}=\color{red}{2a\sqrt{a}} \cdots(*3)\)となる。

以上より、\(\small (*1)～(*3)\)の3つの場合分けした結果を定数 \(\small a\)の値の範囲ごとに整理したものが答えとなる。

（解答）
\(\small a<0\)のとき、 \(\small x=0\)で最大値0
\(\small 0≦a≦1\)のとき、\(\small x=\sqrt{a}\) で最大値 \(\small 2a\sqrt{a}\)
\(\small 1<a\)のとき、\(\small x=1\)で最大値 \(\small 3a-1\)

【補足】イコールはどっちに含めるべき？

今回だと\(\small a<0\), \(\small 0≦a≦1\), \(\small 1≦a\)の3つに場合分けしていますが、よく不等号のイコールをどちらに含めるべきか？という質問をもらいます。

この質問への回答としては、場合分けしているパターンごとの意味を考慮して決めてあげましょう。
たとえば、今回だと\(\small a<0\)というパターンは、常に単調減少（\(\small f^\prime (x)<0\)）の場合として論証をしています。なので、もし\(\small a≦0\)のように\(\small a=0\)を含めてしまうと、\(\small f^\prime (x)=0\)となる場合が含まれてしまうため、単調減少というパターンの前提と合わなくなります。

このような矛盾が生じないように、場合分けしたパターンごとの意味にも注意するようにしましょう。

【問題2】定義域に文字を含む3次関数の最大最小

定義域に文字を含む最大最小

難易度：★★★★

関数\(\small f(x)=x^3-2x^2+x\)（\(\small a≦x≦a+1\)）の最大値について考える。
(1) \(\small \displaystyle a=\frac{1}{2}\)のときの関数\(\small y\)の最大値と最大値をとる\(\small x\)の値を求めよ。
(2) \(\small x=a+1\)において最大値をとるときの\(\small a\)の値の範囲を求めよ。 [類　慶応大]

解法のPoint

（1）定数 \(\small a\)が具体的に指定されているため、単純に最大値を求めるだけ。
（2）本問は3次関数には文字がなく、定義域に文字があることから、グラフは固定で定義域が左右に動く問題と解釈できる。そのため、定義域をグラフの左側から右側にスライドさせて、条件を満たすパターンを丁寧に確認していくことがポイントとなる。

　（1）解説

定義域が\(\small \displaystyle \frac{1}{2}≦x≦\frac{3}{2}\)となり文字がなくなるので、あとは実際に計算していけばOK。ということで、まずはグラフを描くために、増減表を作成していく。関数の極値を求めると

\begin{equation}
\begin{split}
\small f'(x)=&\small 3x^2-4x+1=0\\
&\small (3x-1)(x-1)=0\\
&\small \Rightarrow \space \color{red}{x=\dfrac{1}{3}、1}\\
\end{split}
\end{equation}

よって、\(\small \displaystyle x=\frac{1}{3}\)で極大値\(\small \displaystyle f\left(\frac{1}{3}\right)=\left(\frac{1}{3}\right)^3-2\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^2+\left(\frac{1}{3}\right)=\color{red}{\frac{4}{27}}\)、\(\small x=1\)で極小値\(\small f(1)=1^3-2\cdot 1^2+1=\color{blue}0\)をとることから、増減表は以下の通りになる。

あとは冒頭の定義域 \(\small \displaystyle \frac{1}{2}≦x≦\frac{3}{2}\)で最大値を考えると、\(\small \displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{8}\)、\(\small \displaystyle f\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{3}{8}\)なので、\(\small \displaystyle x=\frac{3}{2}\)で最大値 \(\small \displaystyle \frac{3}{8}\)をとる。

【よくあるミス】グラフを信じすぎない

概形把握のために簡易的にサクッとグラフをかくことはよくあるが、簡易的にかいたグラフで最大・最小を判断するとミスする可能性があるので要注意！例えば、下図のように実際の大小関係と一致しない可能性がある。そのため、しっかり両端の\(\small y\) 座標を求めて比較するようにしよう。
　
(実際は定義域の右端が\(\small \displaystyle \frac{3}{8}\)で左端よりも大きい値のため、左端＜右端の大小関係となるべきだが、上図では逆転してしまっている…)

【（1）解答】
\(\small \displaystyle x=\frac{3}{2}\)で最大値 \(\small \displaystyle \frac{3}{8}\)をとる

　（2）解説

\(\small x=a+1\)で最大値をとるということは、図形的には定義域の右端で最大となるということ。そのための条件を考えていこう。

安直に「右端で最大ということは、左端＜右端が条件じゃないの？」と思った人は、もう少し慎重に他のパターンも考えてみよう。すると、定義域内に極大値が含まれるような場合は、「左端＜右端」となっていても最大値は右端ではなく極大値をとるときになるパターンもあることに気づくだろう。

パターンを見落とさないコツ

よく解答を確認したときに「あ、このパターン見落としてた…」となる人は、問題を解くときに「このパターンだ！」と気が付いたら一度立ち止まって、「他にないかな？」と考える癖をつけましょう。

他の見落としているパターンがないかを確認するコツとしては、「グラフに対して定義域を左側から右側へスライドさせてみる」ことが効果的です。

今回の問題であれば、定義域をグラフの左側から右側へ動かしていき、常に「左端＜右端」となるかを確認すればよいわけです。すると、「定義域に極大値が含まれる場合がある！」と気が付けると思います。

（再掲）Point：最大値・最小値をとる場所

極値または定義域の端点（右端 or 左端）で最大値、最小値をとる！

上記のポイントを踏まえて、極値と定義域の端点に着目しながら、定義域 \(\small a≦x≦a+1\)をグラフの左側から右側にスライドさせることで\(\small x=a+1\)で最大値をとるパターンを調べていこう。

まずは定義域が極大値より左側にある場合を考える。

この場合は、図からも分かる通り\(\small x=a+1\)で最大値をとるので、問題の条件に合致する。このようなパターンになるためには、定義域の右端が極値となる\(\small \displaystyle x= \frac{1}{3}\)の左側にあればよいので、

\begin{split}
&\small \displaystyle a+1≦\frac{1}{3}\\
\small \Leftrightarrow \space &\small \displaystyle a≦-\frac{2}{3} \space \cdots ①\\
\end{split}

が定数 \(\small a \)が満たすべき条件となる。

次に、定義域内に極大値が含まれている場合は、極大値が最大値となるため、\(\small x=a+1\)で最大とはならないため、問題の条件には合致しないため不適。

続いては、もう少し定義域を右側にスライドしていくと、定義域の左端がちょうど \(\small \displaystyle x=\frac{1}{3}\)、すなわち \(\small \displaystyle a=\frac{1}{3}\)となる瞬間があることに気づくだろう。この場合は、下図のように定義域の両端で最大値をとることになるため、問題文の条件も満たすことになる。

よって、\(\small \displaystyle a=\frac{1}{3}\)は問題の条件を満たす…②。

最後は、さきほどの場合から定義域をさらに左側にスライドした場合を考える。この範囲では、極大値が定義域から外れるため、必ず\(\small x=a+1\)で最大値をとることになります。

この条件を満たす定数 \(\small a\)の値の範囲は、定義域左端の \(\small x=a+1\)が\(\small \displaystyle \frac{4}{3}\)より大きければよいので、

\begin{split}
&\small \displaystyle \frac{4}{3}<a+1\\
\small \Leftrightarrow \space &\small \displaystyle \frac{1}{3}<a \space \cdots ③\\
\end{split}

以上より、①、②、③を合わせた範囲が答えとなる。

（解答）
\(\small \displaystyle \color{red}{a≦-\frac{2}{3}、\frac{1}{3}≦a}\)

補足

(2)はシンプルな問題ですが、極大値と定義域の右端の大小関係を丁寧に見ていかないとミスが出てしまう問題でした。特に、本問は定義域の幅が「1」と具体的に分かるので、3次関数の概形を丁寧にかいて定義域と照らし合わせることで、どこが定義域の右端が最大になる境目になるのかが分かるようになっています。改めてグラフを正確にかくことの重要性を実感させられる問題です。