本記事では、\(\small a_{n+1}=f(n)a_n\)型の漸化式の一般項の求め方を、式変形の考え方まで含めて分かりやすく解説します。
定期テスト対策はもちろん、共通テスト・大学受験にも役立つ内容になりますので、一緒に確認していきましょう！
・係数に1次式を含む漸化式の3つの問題パターンとは？
・係数に1次式を含む漸化式のパターン別の解き方は？
係数に1次式を含む漸化式（aₙ₊₁＝f(n)aₙ型）とは？
今回解説する漸化式の特徴を簡単にまとめると、以下の通りです。
・係数がほぼ連続になっている。
具体的には、
\begin{split}
・&\small \displaystyle a_{n+1}=\frac{n+2}{n+1}a_n\\
・&\small \displaystyle (n+2)a_{n+1}=2na_n\\
・&\small \displaystyle a_{n+1}=\frac{n}{n+1}a_n+1\\
\end{split}
のような漸化式が今回考える漸化式になります。
また、漸化式に登場する係数同士を見ると、1つ目は\(\small n+1\)と\(\small n+2\)、3つ目は、\(\small n\)と\(\small n+1\)のように連続する数になっています。2つ目も、\(\small n\)と\(\small n+2\)なので間の\(\small n+1\)が抜けてはいますがほぼ連続する形になっています。
逆に、以下のような漸化式は今回の特徴に合致しない形であり、一般的に簡単に解くことはできません。入試でも出てこないのであまり気にしなくてOKです。
\begin{split}
・&\small \displaystyle a_{n+1}=\frac{2n+1}{n+1}a_n\\
&\small →2n+1がn+aの形じゃない。\\\\
・&\small \displaystyle a_{n+1}=n^2a_n\\
&\small →n^2がn+aの形じゃない。\\\\
・&\small \displaystyle a_{n+1}=(n+3)a_n+1\\
&\small →係数がn+3のみであり連続していない\\
\end{split}
係数に1次式を含む漸化式（aₙ₊₁＝f(n)aₙ型）の解き方
【基本問題】aₙ₊₁＝f(n)aₙ型（係数調整なし）
\(\small a_1=2\), \(\small \displaystyle a_{n+1}=\frac{n+2}{n+1}a_n\)で定義される数列\(\small \{a_n\}\)の一般項を求めよ。
$$\small \color{#ff0055}{（大きい係数）}a_{n+1}=p\color{#ff0055}{（小さい係数）}a_n \space (p：定数)$$
の形に仕分けして,『\(\small b_n = （小さい係数）a_n\)』とおくことで、等比型
$$\small b_{n+1}=pb_{n}$$
に帰着させて解こう。
\(\small a_n\)と\(\small a_{n+1}\)の係数に\(\small n\)を含む式 \(\small \displaystyle \frac{n+2}{n+1}\) がかけ算されているパターンなので、係数に1次式を含む漸化式として解いていきます。
まずは係数の \(\small \displaystyle \frac{n+2}{n+1}\) を、左辺（\(\small a_{n+1}\)側）に大きい値、右辺（\(\small a_n\)側）に小さい値が来るように仕分けすると
\begin{split}
\small \displaystyle \frac{a_{n+1}}{n+2} = \frac{a_n}{n+1}
\end{split}
と変形できます。分数になってしまってもOKです。
ここで、左辺と右辺を見比べると、左辺は右辺の\(\small n\)を\(\small n+1\)に置き換えた式になっています（つまり右辺を \(\small b_n\)とおけば左辺は \(\small b_{n+1}\)のように表せるということ）。
このことをもう少し分かりやすく表すなら
\begin{split}
\small \displaystyle \frac{a_{\color{#ff0055}{n+1}}}{\color{#ff0055}{(n+1)}+1} = \frac{a_\color{#ff0055}n}{\color{#ff0055}n+1}
\end{split}
という感じです。
よって、右辺の式を丸ごと
\begin{split}
\small \displaystyle b_n = \frac{a_n}{n+1} \space \cdots ①
\end{split}
とおいてあげると、漸化式は
\begin{split}
&\small \displaystyle \frac{a_{n+1}}{n+2} = \frac{a_n}{n+1}\\
&\small \Rightarrow \space \color{#ff0055}{b_{n+1} = b_n}\\
\end{split}
と簡単な形で表すことができます。
あとはこの漸化式を解けばよいので、\(\small b_{n+1} = b_n\)より、
\begin{split}
\small b_{n} &\small =b_1 \quad [*1]\\
&\small =\frac{a_1}{1+1} \quad (∵①)\\
&\small =\frac{2}{2} \quad(∵ a_1 = 2)\\\
&\small =1\\
\end{split}
この漸化式は『ある項の値（\(\small b_{n}\)）が次の項の値（\(\small b_{n+1}\)）と同じ』という関係を表しているので、結果的にすべての項の値が同じということを言っています。
言葉だけだとピンと来ない人向けに、実際に漸化式を書き連ねてみると
\begin{split}
\small b_{n+1} &\small =b_{n}\\
\small b_{n} &\small =b_{n-1} \quad ◀nをn-1に置き換え（以下も同様）\\
\small b_{n-1} &\small =b_{n-2}\\
&\small \vdots\\
\small b_{3} &\small =b_{2}\\
\small b_{2} &\small =b_{1}\\
\end{split}
となり、一つの式で表すと\(\small \color{#ff0055}{b_{n}=b_{n-1}=b_{n-2}=\cdots=b_3=b_2=b_1}\)となるので、等式の最初と最後だけ見ると\(\small b_n=b_1\)が成り立つことが分かります。
他にも、\(\small b_{n+1}=b_n\)は漸化式の等比型（\(\small b_{n+1}=rb_n\)）になっており、初項が1、公比も1の等比数列なので、一般項は
\begin{split}
\small b_n &\small = b_1 r^{n-1}\\
&\small = 1\cdot 1^{n-1} \quad \color{#ff0055}{◀1^{n-1}=1}\\
&\small = 1\\
\end{split}
と考えて求めてもOKです。
よって、\(\small b_n=1\)を①の関係式に代入することで、
\begin{split}
&\small \displaystyle 1 = \frac{a_n}{n+1}\\
\small ∴ \space &\small \displaystyle \color{red}{a_n=n+1 \space \cdots 【答】}\\
\end{split}
【標準問題】aₙ₊₁＝f(n)aₙ型（係数調整あり）
\(\small a_1=1\), \(\small \displaystyle (n+2)a_{n+1}=2na_n\)で定義される数列\(\small \{a_n\}\)の一般項を求めよ。
一見すると係数に1次式を含む漸化式ではない問題に見えますが、
$$\small \displaystyle a_{n+1}=\frac{2n}{n+2}a_n$$
のように式変形してあげれば、\(\small a_{n+1}=f(n)a_n\)の形になっていることが分かります。
このような場合は、漸化式が成り立つように、両辺に共通する係数を見つけ出してかけ算しましょう。
両辺に \(\small n+1\)を掛け算すると
\begin{split}
\small (n+2)a_{n+1} &\small =2na_n\\
\small (n+2)\color{#ff0055}{(n+1)}a_{n+1} &\small =2\color{#ff0055}{(n+1)}na_n\\
\end{split}
この状態で \(\small b_n =(n+1)na_n\)…①とおくと、上記の漸化式は
\begin{split}
\small b_{n+1}=2b_n\\
\end{split}
のように等比型の漸化式に帰着します。
両辺に共通する係数は、うまいこと探し出すしかないのですが、\(\small b_n\)と\(\small b_{n+1}\)は\(\small n\)を\(\small n+1\)に置き換えれば出てくることを考えるとそこまで突拍子もない値を見つけ出す必要はありません。
係数を探すときに一つの参考になるのが、『抜けている係数を補えばよい』という考え方です。例えば今回であれば、\(\small n+2\)と\(\small n\)という係数が出てきていて、間の\(\small n+1\)が抜けています。なので、この抜けている\(\small n+1\)を両辺にかけ算してあげればうまく帳尻が合うのではないか？という発想で見つけることができます。
漸化式 \(\small b_{n+1}=2b_n\)を解くと
\begin{split}
\small b_{n}=b_1 \cdot 2^{n-1} \space \cdots ②\\
\end{split}
となります。ここで、
\begin{split}
\small b_{1}&\small =2\cdot 1 \cdot a_1 \space \color{#ff0055}{◀①より}\\
&\small =2\\
\end{split}
となるので、②は
\begin{split}
\small b_{n}&\small =2 \cdot 2^{n-1}\\
\small ∴ \space b_{n} &\small =2^{n}\\
\end{split}
①を上式に代入することで
\begin{split}
&\small b_{n} =2^{n}\\
\small \Leftrightarrow \space &\small (n+1)na_n=2^{n}\\
\small ∴ \space &\small \color{red}{a_n =\frac{2^{n}}{(n+1)n} \space \cdots 【答】}\\
\end{split}
【応用問題】aₙ₊₁＝f(n)aₙ+p型
\(\small a_1=2\), \(\small \displaystyle a_{n+1}=\frac{n}{n+1}a_n+1\)で定義される数列\(\small \{a_n\}\)の一般項を求めよ。
①：\(\small b_{n+1}-b_n=f(n)\)（階差型）の漸化式
②：\(\small b_{n+1}=pb_n+f(n)\)（多項式型）の漸化式
のいずれかに帰着させることができます。
\(\small a_n\)の係数が\(\small n\)が含まれる式となっているため、係数 \(\small \displaystyle \frac{n}{n+1}\)を見て、大きい値（\(\small n+1\)）を\(\small a_{n+1}\)側（左辺）に寄せるために両辺を\(\small n+1\)倍すると
\begin{split}
\small (n+1)a_{n+1}&\small =na_n+(n+1)\\
\end{split}
ここで、\(\small b_n=na_n\)…①とおくと、\(\small b_{n+1}=(n+1)a_{n+1}\)になる（①で\(\small n\)を\(\small n+1\)に置き換え）ので
\begin{split}
\small b_{n+1} &\small =b_n+(n+1)\\
\small \Leftrightarrow \space \small b_{n+1} &\small -b_n =n+1\\
\end{split}
これは階差型の漸化式なので、階差数列の公式より\(\small n≧2\)のとき
\begin{split}
\small b_{n} &\small =b_1+\sum_{k=1}^{n-1}(k+1) \space \cdots ②\\
\end{split}
$$\small b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1}f(k) \quad (\color{#ff0055}{n≧2})$$
で求められます。
この公式は初項 \(\small b_1\)にΣの項を足し算する形になっています。初項に何かを足すわけですから、求められる項は第2項目以降の数列の値になります。つまり、\(\small n≧2\)の場合にしか適用できない式になっている点に注意しましょう。そのため、\(\small n=1\)のときにもこの式を満たすかどうかは別途確認してあげる必要があります。
階差型の漸化式の詳細を知りたい人は、「【漸化式の解き方】特性方程式を利用した解法、等差数列型・等比数列型・階差数列型【漸化式マスターの道①】」をチェック！
\(\small b_1\)の値は、①より
\begin{split}
\small b_{1} &\small =1\cdot a_1\\
&\small =2 \space \cdots ③\quad (∵ \space a_1=2)\\
\end{split}
また、
\begin{split}
\small \sum_{k=1}^{n-1}(k+1) &\small = \sum_{k=1}^{n-1}k+\sum_{k=1}^{n-1}1\\
&\small \displaystyle = \frac{1}{2}(n-1)n+(n-1) \space \cdots ④\\
\end{split}
よって、数列 \(\small \{b_n\}\)の一般項は③, ④を②に代入することで
\begin{split}
\small b_{n} &\small =b_1+\sum_{k=1}^{n-1}(k+1)\\
&\small \displaystyle =2+\frac{1}{2}(n-1)n+(n-1)\\
&\small \displaystyle =\frac{4+(n-1)n+2(n-1)}{2}\\
\small ∴ \space b_{n} &\small \displaystyle =\frac{n^2+n+2}{2} \space \cdots ⑤\\
\end{split}
ここで、⑤は\(\small n≧2\)の場合に成り立つ式ですが、試しに右辺に\(\small n=1\)を代入してみると
\begin{split}
\small （⑤右辺） &\small =\frac{n^2+n+2}{2}\\
&\small =\frac{1^2+1+2}{2}\\
&\small =2\\
\end{split}
となり、③で求めた\(\small b_1\)の値と一致します。故に、⑤は\(\small n=1\)のときも成り立つことが確認できました。
最後に、⑤の左辺に①の関係式を代入して
\begin{split}
\small na_n &\small =\frac{n^2+n+2}{2}\\
\small ∴ \space \color{red}{a_n} &\small \color{red}{=\frac{n^2+n+2}{2n} \space \cdots 【答】}\\
\end{split}
本記事のまとめ
今回は係数に1次式を含む漸化式の解き方を問題パターンごとに解説しました。
解き方の方針としては、以下の通りにパターン分けして解いていけばよいと思います。
【\(\small a_n=f(n)a_n\)型の場合】
└ 係数が連続
→ パターン①：\(\small a_n=f(n)a_n\)型（係数調整なし）
└ 係数が不連続（間が抜けている）
→ パターン②：\(\small a_n=f(n)a_n\)型（係数調整あり）
【\(\small a_n=f(n)a_n+p\)型の場合】
→ パターン③：\(\small a_n=f(n)a_n+p\)型
一番基本になるのがパターン①で、そこに係数調整の手間を加えたのがパターン②、最後に定数項\(\small p\)が加わったのがパターン③という感じです。
各パターンごとの解法についてもまとめておきます。
$$\small b_{n+1}=pb_{n}$$
に帰着させる。
①：\(\small b_{n+1}-b_n=f(n)\)（階差型）の漸化式
②：\(\small b_{n+1}=pb_n+f(n)\)（多項式型）の漸化式
今回は以上です。お疲れさまでした！
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