【数C】【式と曲線】楕円の媒介変数表示を利用した問題（基礎問題～最大値・最小値問題）

今回は楕円の媒介変数表示を利用した問題について徹底解説していきます。媒介変数表示ときくと、なんだか難しそうで苦手という印象を持つ人も多いと思いますが、使いこなせれば複雑な計算を回避してめちゃ簡単に答えを求めることができます。

また、楕円に限らず媒介変数表示の問題は大学入試で難関大学を狙う場合は必修科目になるので、ぜひ考え方や使いどころをマスターしたいところです。

そこで本記事では、楕円の媒介変数表示を利用した問題の中でも絶対に理解しておきたい問題3選をゴリっと解説していくのでぜひ最後までチェックしてみてください！

　本記事はこんな人におすすめ

媒介変数表示をどんな問題で利用するか知りたい人
媒介変数表示を利用した問題に苦手意識がある人
楕円の媒介変数表示の問題で受験対策・定期テスト対策をしたい人

　本記事のレベル

重要度

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2

3

4

5

高
難易度

易しい

1

2

3

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難しい
暗記/理解

暗記重視

1

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3

4

5

理解重視

本記事の要点
【問題＆解説】媒介変数表示を利用した楕円の問題
本記事のまとめ

本記事の要点

媒介変数を利用した問題の演習＆解説に入る前に、本記事の要点をまとめておきます。

☆重要Point☆
・2変数＆2次式の曲線の最大値・最小値を求める問題は、
　媒介変数表示で三角関数の最大値・最小値問題に帰着させる。

では、この要点を頭の片隅に置きながら、実際の問題を通して理解を深めていきましょう。

【問題＆解説】媒介変数表示を利用した楕円の問題

【問題1】楕円の媒介変数表示

問題1：楕円の媒介変数表示

以下の楕円を媒介変数$\small \theta \space (0≦\theta<2\pi)$を用いて表せ。
（1）$\small \displaystyle 2x^2+3y^2=6$
（2）$\small \displaystyle x^2+4y^2-4x+8y+4=0$

問題解決のKey

楕円の方程式
$$\small \displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$
は、媒介変数$\small \theta \space (0≦\theta<2\pi)$を用いて
\begin{cases}
\small x=a\cos \theta\\
\small y=b\sin \theta\\
\end{cases}
と表現できる。

　（1）解説

両辺を6で割ると

\begin{split}
\small \displaystyle \frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1
\end{split}
より、

\begin{split}
\begin{cases}
\small x=\sqrt{3}\cos \theta\\
\small y=\sqrt{2}\sin \theta\\
\end{cases}
…【答】
\end{split}

　（2）解説

$\small x,y$の文字ごとに平方完成の要領で式を整理していくと

\begin{split}
\small \displaystyle x^2+4y^2-4x+8y+4&\small =0\\
\small \Leftrightarrow \quad \displaystyle (x-2)^2+4(y+1)^2&\small =4\\
\small \Leftrightarrow \quad \displaystyle \frac{(x-2)^2}{4}+(y+1)^2&\small =1\\
\end{split}

よって、

\begin{split}
&
\begin{cases}
\small x-2=2\cos \theta\\
\small y+1=\sin \theta\\
\end{cases}\\
\Leftrightarrow \quad &
\color{red}{
\begin{cases}
\small x=2\cos \theta+2\\
\small y=\sin \theta-1\\
\end{cases}
…【答】}
\end{split}

中心がずれた楕円の媒介変数

中心が$\small (p,q)$の楕円
$$\small \displaystyle \frac{(x-p)^2}{a^2}+\frac{(y-q)^2}{b^2}=1$$
の媒介変数表示は
\begin{cases}
\small x=a\cos \theta+p\\
\small y=b\sin \theta+q\\
\end{cases}
※$\small X=x-p,\space Y=y-q$とおくと、原点中心の楕円の式$\small \displaystyle \frac{X^2}{a^2}+\frac{Y^2}{b^2}=1$に帰着できるので、公式自体はあえて覚えなくてOK!

【問題2】線分の和の最大最小

問題2：線分の和の最大最小

曲線$\small C：\displaystyle x^2+\frac{y^2}{3}=1\space(x≧0,y≧0)$上の点$\small \mathrm{P}$から$\small x$軸に下した垂線の足を$\small \mathrm{A}$、$\small y$軸に下した垂線の足を$\small \mathrm{B}$とするとき、$\small \mathrm{AP}+\mathrm{PB}$の最大値、最小値を求めよ。

問題解決のKey

楕円の最大値・最小値問題では、媒介変数表示の利用が圧倒的に簡単！

●失敗例…
求める長さは、点$\small \mathrm{P}$の「$\small x$座標＋$\small y$座標」なので
\begin{split}
\small x^2&\small +\frac{y^2}{3}=1\\
\small \Leftrightarrow \space y^2&\small =3(1-x^2)\\
\small \Leftrightarrow \space y&\small =\sqrt{3(1-x^2)}\space (∵\space y≧0)\\
\end{split}
より、
\begin{split}
\small \mathrm{AP}+\mathrm{PB}&\small =x+y\\
&\small =x+\sqrt{3(1-x^2)}\\
\end{split}
として、$\small x$に関して微分することで最大・最小を求める…、と考えると計算が複雑で大変になる。

　解説

まずは、イメージを掴むために問題文の条件をグラフで可視化しておきましょう。

楕円上の点$\small \mathrm{P}$を媒介変数表示すると

\begin{cases}
\small x=\cos \theta\\
\small y=\sqrt{3}\sin \theta\\
\end{cases}

ただし、媒介変数$\small \theta$の範囲は、点$\small \mathrm{P}$の移動範囲が上図の黄色範囲（$\small x≧0,y≧0$）に制限されているので、$\small \displaystyle 0≦\theta≦\frac{\pi}{2}$となります。

媒介変数表示をしているので、求める長さ$\small \mathrm{AP}+\mathrm{PB}$は

\begin{split}
\small \mathrm{AP}+\mathrm{PB}=\sqrt{3}\sin \theta+\cos \theta\\
\end{split}

と表せます。

よって、今回の問題は、$\small \displaystyle 0≦\theta≦\frac{\pi}{2}$の範囲で、$\small \sqrt{3}\sin \theta+\cos \theta$の最大値、最小値を考える問題に帰着できます。

最大値、最小値を考えるために三角関数の合成をすると

\begin{split}
\small \sqrt{3}\sin \theta+\cos \theta=\color{red}2\sin\left(\theta +\color{blue}{\frac{\pi}{6}}\right)\\
\end{split}

合成後の角度$\small \displaystyle \theta +\frac{\pi}{6}$の値の範囲は、

\begin{split}
\small 0≦\theta & \small ≦\frac{\pi}{2}\\
\small \frac{\pi}{6}≦\theta+ & \small \frac{\pi}{6}≦\frac{2}{3}\pi\quad \color{#ef5350}{◀両辺に\frac{\pi}{6}を足し算}\\
\end{split}

となるので、この範囲では最大値が2、最小値が1…【答】となる（下図参照）。

●補足
三角関数の合成を用いた最大値、最小値の求め方についての詳細は、こちらの記事を要チェック！

　別解

媒介変数表示の利用以外の解法として、領域における最大最小問題として解くこともできます。領域の最大最小って何？と思った人は、こちらの記事も併せて確認しておきましょう。

今回の問題で求める長さを$\small k$とおくと、$\small k$は点$\small \mathrm{P}$の「$\small x$座標＋$\small y$座標」なので、$\small x+y=k$と表せます。

ここで、$\small x+y=k$を直線の方程式、すなわち$\small y=-x+k$とみなすことで、今回の問題は、楕円$\small \displaystyle x^2+\frac{y^2}{3}=1\space(x≧0,y≧0)$上（下図のオレンジ色部分）で、$\small y=-x+k$の切片 $\small k$の値の最大値、最小値を求めればよいことになります。

すると、切片が最小となるのは、$\small y=-x+k$が青線の位置にあるときなので、点$\small (1,0)$を通ることから、$\small k=1$と最小値を簡単に求めることができます。

最大値は、図の赤線のときで、楕円と直線がちょうど接するときなので、連立した方程式で判別式=0を解いてあげればよいでしょう。

よって、

\begin{cases}
\small \displaystyle x^2+\frac{y^2}{3}=1\\
\small y=-x+k\\
\end{cases}

\begin{split}
\small \Leftrightarrow \space 3x^2+(-x+k)^2=3\\
\small \Leftrightarrow \space 4x^2-2kx+k^2-3=0\\
\end{split}

重解を持つ条件は、判別式$\small \displaystyle \frac{D}{4}=0$より

\begin{split}
\small \frac{D}{4} &\small =(-k)^2-4(k^2-3)=0\\
&\small \Leftrightarrow k^2=4\\
&\small \Leftrightarrow k=2\space (∵\space k>0)\\
\end{split}

(図より切片$\small k$は明らかに正なので$\small k=\pm2$のうち正のものが妥当な解）。

よって、最大値は2であると求まります。

【問題3】楕円と直線の距離の最大最小

問題3：楕円と直線の距離の最大最小

楕円 $\small \displaystyle x^2+2y^2=2$を$\small C$、傾き$\small m$の直線 $\small y=mx+3$を$\small \ell$とおく。
（1）$\small C$と$\small \ell$が共有点を持たないような$\small m$の範囲を求めよ。
（2）$\small m$が（1）で求めた範囲にある定数とする。点$\small \mathrm{P}$が$\small C$上を動くとき$\small \mathrm{P}$と$\small \ell$の距離の最大値と最小値を$\small m$を用いて表しなさい。
[北里大学]

問題解決のKey

・2変数かつ2次式の最大値最小値の問題は、媒介変数表示が有効
　（つまり、楕円の問題で最大最小を求めるなら媒介変数表示が◎）

　（1）解説

共有点の個数を求めるには楕円と直線の方程式を連立して判別式で判定するのが定石。

\begin{cases}
\small \displaystyle x^2+2y^2=2\\
\small y=mx+3\\
\end{cases}

\begin{split}
\small \Leftrightarrow \space & \small \displaystyle x^2+2(mx+3)^2=2\\
\small \Leftrightarrow \space & \small \displaystyle (2m^2+1)x^2+12mx+16=0\quad\cdots①\\
\end{split}

「共有点を持たない ⇔ 判別式<0」より

\begin{split}
\small \frac{D}{4} & \small =(6m)^2-(2m^2+1)\cdot 16<0\\
& \small \Leftrightarrow \space m^2-4<0\\
& \small ∴ \space \color{red}{-2<m<2\quad \cdots 【答】}\\
\end{split}

$\small x$の係数が2の倍数の場合の判別式

2次方程式の$\small x$の係数が $\small ax^2+\color{#ef5350}{2bx}+c=0$のように2の倍数の場合、判別式は
$$\small \color{#ef5350}{\frac{D}{4}=b^2-ac}$$
で求まる。
知っていると計算が楽になるのでしっかり覚えておきましょう！

　（2）解説

すぐに思いつく方針としては、楕円上の点$\small \mathrm{P}$の座標を$\small (s,t)$、点$\small \mathrm{P}$と直線$\small \ell$の距離を$\small d$とおいて、点と直線の距離の公式から

\begin{split}
\small d=\frac{|sm-t+3|}{\sqrt{m^2+1}}\quad \cdots①
\end{split}

の最大値、最初値を求めようとする方法だろう。

本問では、$\small m$は定数なので、$\small d$の最大最小は、変数である$\small s,t$によって決まる。また、$\small s,t$と変数が2つあると考えにくいので何とか1つの文字に統一したいところだが、$\small s,t$が満たす関係は、楕円$\small C$上の点ということで、$\small s^2+2t^2=2$であるが、2次式なので扱いにくい。

もちろん、$\small s^2=2-2t^2\space \Leftrightarrow \space s=\pm \sqrt{2}\sqrt{1-t^2}$を①に代入して、$\small t$で微分することで求めてもよいが、ルートの計算が煩雑になるため、極力避けたい。

「2変数だと考えにくい…」、「2次式は扱いたくない…」というわがままを押し通したいときに有効なのが媒介変数表示だ。

本問の楕円の方程式を媒介変数表示すると、$\small 0≦\theta < 2\pi$として、

\begin{cases}
\small s=\sqrt{2}\cos \theta\\
\small t=\sin \theta\\
\end{cases}

なので、①に代入すると

\begin{split}
\small d=\frac{|\sqrt{2}m\cos \theta-\sin \theta+3|}{\sqrt{m^2+1}}
\end{split}

このように媒介変数を用いると、$\small s,t$2つの変数を含んだ複雑な関係式が、$\small \theta$のみの三角関数として表せるため、あとは三角関数の最大・最小問題に帰着させることができることがポイント。

ここから先の求め方は、数式をグリグリする解法と、図形的な考察から解く解法の2パターンがあるので、自分に合った方法で解けるようにしておけばよいでしょう。余裕があれば、解法の幅を広げるために両方のパターンで解けるようにしておきましょう。

各解法パターンの解説はこちら。

解法1：数式グリグリ
解法2：図形的考察

≪解法1：数式グリグリ≫

$\small d$の分母にある$\small \sqrt{m^2+1}$はただの定数なので、分子の$\small |\sqrt{2}m\cos \theta-\sin \theta+3|$が最大（または最小）になるときに$\small d$も最大（または最小）となるため、分子に着目して考える。

\begin{split}
& \small |\sqrt{2}m\cos \theta-\sin \theta+3|\\
& \small =\left|\sqrt{2m^2+1}\left(\frac{\sqrt{2}m}{\sqrt{2m^2+1}}\cos \theta-\frac{1}{\sqrt{2m^2+1}}\sin \theta\right)+3\right|\\
\end{split}

ここで、$\small \displaystyle \cos \alpha =\frac{\sqrt{2}m}{\sqrt{2m^2+1}}, \sin \alpha=\frac{1}{\sqrt{2m^2+1}}$…②とおくと

\begin{split}
\small (与式) & \small =\left|\sqrt{2m^2+1}\left(\cos \alpha \cos \theta-\sin \alpha \sin \theta\right)+3\right|\\
& \small =\left|\sqrt{2m^2+1}\cos(\theta+\alpha)+3\right|\\
\end{split}

ただし、２行目への式変形は、加法定理 $\small \cos \alpha \cos \beta – \sin \alpha \sin \beta =\cos(\alpha +\beta)$を利用した。

●補足
この式変形は一見するとかなり特殊な変形に思えるが、考え方自体は三角関数の合成と同じである。「$\small ●\sin \theta+▲\cos \theta$」の形は三角関数の合成を用いることで、sinやcosに統一することができるので、詳細はこちらの記事も併せて確認しておきましょう。
三角関数の合成公式の証明と使い方を分かりやすく解説

$\small 0≦\theta<2\pi$より、$\small \alpha≦\theta +\alpha<2\pi+\alpha$なので、$\small -1≦\cos(\theta+\alpha)≦1$であり、

\begin{split}
\small -1 &\small ≦\cos(\theta+\alpha)≦1\\
\small \Leftrightarrow \space -\color{#ef5350}{\sqrt{2m^2+1}} &\small ≦\color{#ef5350}{\sqrt{2m^2+1}}\cos(\theta+\alpha)≦\color{#ef5350}{\sqrt{2m^2+1}}\\
\small \Leftrightarrow \space \color{#ef5350}3-\sqrt{2m^2+1} &\small ≦\sqrt{2m^2+1}\cos(\theta+\alpha)+\color{#ef5350}3≦\color{#ef5350}3+\sqrt{2m^2+1}\\
\end{split}

よって、絶対値の中身である$\small \sqrt{2m^2+1}\cos(\theta+\alpha)+3$の値の取り得る範囲が求まった。

ここで、絶対値をとるにあたって、不等号の下限である$\small 3-\sqrt{2m^2+1}$の符号を確認しておく（もしマイナスだったら絶対値をとると不等号の大小関係が変わるから）。

$\small -2<m<2$（(1)で求めた範囲）では、$\small 1≦2m^2+1<9$なので、各辺のルートをとって$\small 1≦\sqrt{2m^2+1}<3$より、$\small 3-\sqrt{2m^2+1}>0$となるので、絶対値をとっても符号は変わらない（プラスの値だから）。

よって、

\begin{split}
\small 3-\sqrt{2m^2+1} ≦|\sqrt{2m^2+1}\cos(\theta+\alpha)+3|≦3+\sqrt{2m^2+1}
\end{split}

これが求める距離$\small d$の分子だったので、求める距離の範囲は

\begin{split}
&\small \frac{3-\sqrt{2m^2+1}}{\sqrt{m^2+1}} ≦\frac{|\sqrt{2m^2+1}\cos(\theta+\alpha)+3|}{\sqrt{m^2+1}}≦\frac{3+\sqrt{2m^2+1}}{\sqrt{m^2+1}}\\
\small \Leftrightarrow \space &\small \frac{3-\sqrt{2m^2+1}}{\sqrt{m^2+1}} ≦\frac{|\sqrt{2}m\cos \theta-\sin \theta+3|}{\sqrt{m^2+1}}≦\frac{3+\sqrt{2m^2+1}}{\sqrt{m^2+1}}\\
\small \Leftrightarrow \space &\small \frac{3-\sqrt{2m^2+1}}{\sqrt{m^2+1}} ≦d≦\frac{3+\sqrt{2m^2+1}}{\sqrt{m^2+1}}\\
\end{split}

より、$\small \mathrm{P}$と$\small \ell$の距離の最大値は$\small \displaystyle \frac{3+\sqrt{2m^2+1}}{\sqrt{m^2+1}}$、最小値は$\small \displaystyle \frac{3-\sqrt{2m^2+1}}{\sqrt{m^2+1}}$…【答】。

このときの、点$\small \mathrm{P}$の座標は、$\small \mathrm{P}(\sqrt{2}\cos\theta,\sin \theta)$と媒介変数表示していたので、最大値、最小値のそれぞれでの$\small \theta$の値が分かれば座標が求まる。

最大値となるとき、$\small \cos(\theta+\alpha)=1$だったので、$\small \theta+\alpha=0$（コサインが1ということは角度が0ということ）より、$\small \theta=-\alpha$。

よって、最大値をとるときの点$\small \mathrm{P}$の座標は、$\small (\sqrt{2}\cos \alpha,-\sin\alpha)$となるが、②でさりげなく$\small \displaystyle \cos \alpha =\frac{\sqrt{2}m}{\sqrt{2m^2+1}}, \sin \alpha=\frac{1}{\sqrt{2m^2+1}}$とおいていたことを思い出すと、$\small \displaystyle \mathrm{P}\left(\frac{2m}{\sqrt{2m^2+1}},-\frac{1}{\sqrt{2m^2+1}}\right)$。

同様に最小値となるとき、$\small \cos(\theta+\alpha)=-1$だったので、$\small \theta+\alpha=\pi$より、$\small \theta=\pi-\alpha$。

$\small \cos(\pi-\alpha)=-\cos \alpha,\space \sin(\pi-\alpha)=\sin \alpha$より、最小値をとるときの点$\small \mathrm{P}$の座標は、$\small (\sqrt{2}\cos(\pi-\alpha),\sin(\pi-\alpha))$⇔$\small (-\sqrt{2}\cos\alpha,\sin \alpha)$より、$\small \displaystyle \mathrm{P}\left(-\frac{2m}{\sqrt{2m^2+1}},\frac{1}{\sqrt{2m^2+1}}\right)$。

よって、最大値をとる座標は$\small \displaystyle \mathrm{P}\left(\frac{2m}{\sqrt{2m^2+1}},-\frac{1}{\sqrt{2m^2+1}}\right)$、最小値をとる座標は$\small \displaystyle \mathrm{P}\left(-\frac{2m}{\sqrt{2m^2+1}},\frac{1}{\sqrt{2m^2+1}}\right)$…【答】。

≪解法2：図形的考察≫

点$\small \mathrm{P}$と直線$\small \ell$の距離がどんなときに最大（または最小）になるかって、数式以外にヒントってないの？極力、数式計算せずに図形的な考察からある程度、状況を特定できないかを考えてみるというのが解法2の発想。

そういわれると、なんとなくこの辺じゃねというところまでは分かりそうだ（下図参照）。

この点$\small \mathrm{P}$が数学的にどんな点かというのが本問一番のポイント。じーっと眺めているだけでは思いつきにくいので、いろいろと補助線を引いてみて目で見て考えることが図形問題のコツ。誰にも見せるわけではないので、思いついた線をどんどん描いていこう。

すると、どうやら最大値（最小値）をとる点は直線$\small \ell$と平行な楕円の接線との接点になってそうだということが分かる。

この条件から、接点$\small \mathrm{P}(\sqrt{2}\cos\theta,\sin \theta)\space (0≦\theta<2\pi)$と直線$\small \ell:mx-y+3=0$の距離を計算して最大・最小を求めていく。

求める距離を$\small d$とおくと

\begin{split}
\small d=\frac{|\sqrt{2}m\cos \theta -\sin \theta +3|}{\sqrt{m^2+1}} \quad \cdots ①
\end{split}

この式自体は解法1と同様。

ここで、点$\small \mathrm{P}$の接線は

\begin{split}
& \small \frac{(\sqrt{2}\cos \theta)x}{2}+(\sin \theta)y=1\\
\small \Leftrightarrow \space & \small y=-\frac{\sqrt{2}}{2\tan \theta}x+\frac{1}{\sin \theta}\\
\end{split}

楕円の接線の方程式

接点の座標を$\small (x_1,y_1)$とすると、楕円 $\small \displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$の接線の方程式は
$$ \small \displaystyle \frac{x_1}{a^2}x+\frac{y_1}{b^2}y=1$$

図形的考察から、この接線が直線$\small \ell$と平行、すなわち傾きが$\small m$の直線であることから、$\small m \neq 0$のとき

\begin{split}
& \small m=-\frac{\sqrt{2}}{2\tan \theta}\\
\small \Leftrightarrow \space & \small \tan \theta=-\frac{1}{\sqrt{2}m}\\
\end{split}

よって、

\begin{split}
& \small (\cos \theta,\sin \theta) = \left(\mp \frac{\sqrt{2}m}{\sqrt{2m^2+1}},\pm \frac{1}{\sqrt{2m^2+1}}\right)\space (\mathsf{複合同順})\quad \cdots②
\end{split}

●補足
$\small \tan \theta$から$\small \sin \theta ,\cos \theta $の求め方は、三角比の関係式を用いて数式的に計算してもよいが、個人的には下図ように円上で辺を埋めていく方法が簡単でおすすめ！

あとは、点$\small \mathrm{P}$の座標は、$\small (\sqrt{2}\cos\theta,\sin \theta)$だったので、②を代入することで

\begin{split}
& \small \mathrm{P}\left(\mp \frac{2m}{\sqrt{2m^2+1}},\pm \frac{1}{\sqrt{2m^2+1}}\right)\space (\mathsf{複合同順})
\end{split}

と求まる。

距離が最大となる点と最小となる点では、$\small x,y$座標の符号は上図のようにになることから、$\small \displaystyle \mathrm{P}\left(\frac{2m}{\sqrt{2m^2+1}},-\frac{1}{\sqrt{2m^2+1}}\right)$で最大値、$\small \displaystyle \mathrm{P}\left(-\frac{2m}{\sqrt{2m^2+1}},\frac{1}{\sqrt{2m^2+1}}\right)$で最小値…【答】となる。

距離については、①に②を代入することで求められるので、各自確認しておきましょう。

最後に、論証の途中で「$\small m \neq 0$のとき」という制限を付けていた（この辺）ので、$\small m=0$の場合についても確認が必要です。

また計算か…とテンション下がりそうですが、$\small m=0$では$\small \ell：y=3$とシンプルな式になるので、図形的考察から点と距離の最大値は4（座標は$\small \mathrm{P}(0,-1)$）、最小値は2（座標は$\small \mathrm{P}(0,1)$）と分かります。