等比数列の一般項と和の公式｜意味・導出（証明）・求め方をわかりやすく解説

本記事では等比数列の一般項と和の公式についてわかりやすく解説します。

こんな人におすすめ
✓ 等比数列の意味や一般項・和の公式の意味・証明（導出）について理解したい人
✓ 等比数列の一般項・和の公式の覚え方のコツを知りたい人
✓ 等比数列の一般項の求め方、和の求め方を問題を通して理解したい人

等比数列とは｜一般項の公式の意味と証明

等比数列とは

✓ 等比数列とは
並べられた数が、同じ比率で変化する数列を等比数列という。
隣り合う項の「比」が「等しい」数列ってことだね！

✓ 等比数列の例
例1：\(\small 1, \space 3, \space 9, \space 27,\cdots\)
　→「3倍」ずつ増えている数列なので等比数列である
例2：\(\small 3, \space -6, \space 12, \space -24,\cdots\)
　→「\(\small -2\)倍」ずつ変化する数列なので等比数列である

「同じ比率で変化する」という点が等比数列のポイントです。

📝思い出そう｜等差数列との比較
等差数列は隣り合う項の差が等しい数列でした。
一方で、等比数列では隣り合う項の比が等しい数列になります。

等比数列｜一般項の公式

✓ 等比数列の一般項の公式
初項 \(\small a\), 公比 \(\small r\)の等比数列の一般項は
$$\small a_n = ar^{n-1}$$

なぜこの式が等比数列の一般項になるのかは、等差数列の一般項の考え方と比べると理解しやすいです。

等比数列の意味

まずは簡単に等差数列の考え方をおさらいしておきます。
初項から第\(\small n\)項までの「間の数」は項数\(\small n\)と1個だけズレて\(\small n-1\)個でした。

このことから、等差数列の第\(\small n\)項は、初項\(\small a\)に、隣り合う項の差である\(\small d\)を、間の数である\(\small n-1\)個分足すことで\(\small a_n = a+(n-1)d\)と求められました。

この考え方は等比数列にも応用できます。

同じように考えると、等比数列の第\(\small n\)項（一般項）は、初項\(\small a\)に、隣り合う項の比である\(\small r\)を、間の数である\(\small n-1\)個分かけ算することで求められます。

そのため、\(\small a_n = a\times r^{n-1}\)となります。
※ \(\small r^{n-1}\)は、\(\small r\)を\(\small n-1\)回かけ算するって意味でしたね！

【問題で確認】等比数列の一般項の求め方

初項 \(\small a=3\)、公比 \(\small r=2\)を等比数列の一般項の公式 \(\small a_n=ar^{n-1}\)に代入することで、

$$\small a_n = \color{red}{3\cdot 2^{n-1} \quad \cdots 【答】}$$

第6項の値は、一般項に\(\small n=6\)を代入すればよいので

\begin{split}
\small a_{6} &\small = 3\cdot 2^{5}\\
&\small =\color{red}{ 96\quad \cdots 【答】}
\end{split}

【解答】
　一般項は \(\small 3\cdot 2^{n-1}\)
　第6項は \(\small 96\)

等比数列を\(\small a_n = ar^{n-1}\)…① とおく。

「第3項が40」⇔「\(\small n=3\)で \(\small a_{3}=40\)」なので、①に代入すると

\begin{split}
&\small a_{3} =ar^2\\
\small \Leftrightarrow \space &\small 40 =ar^2 \quad \cdots ②\\
\end{split}

同様に「第6項が5」⇔「\(\small n=6\)で \(\small a_{6}=5\)」なので、①に代入すると

\begin{split}
&\small a_{6} =ar^5\\
\small \Leftrightarrow \space &\small 5 =ar^5 \quad \cdots ③\\
\end{split}

③÷②より

\begin{split}
&\small \displaystyle \frac{5}{40} =\frac{ar^5}{ar^2} \quad *左辺同士／右辺同士を割り算\\
\small \Leftrightarrow \space &\small \frac{1}{8} =r^3\\
\end{split}

公比 \(\small r\)は実数なので [*1]

\begin{split}
\small r=\color{red}{\frac{1}{2} \quad \cdots ④}\\
\end{split}

④を②に代入することで、

\begin{split}
&\small a \left(\frac{1}{2}\right)^2=40\\
\small \Leftrightarrow \space &\small \frac{a}{4}=40\\
\small ∴ \space &\small a=\color{red}{160\quad \cdots ⑤}\\
\end{split}

よって、①に④、⑤を代入することで一般項は

\begin{split}
&\small \displaystyle \color{red}{a_n = 160\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \quad \cdots 【答】}
\end{split}

【解答】
　初項 \(\small 160\)、公比 \(\small \displaystyle \frac{1}{2}\)
　一般項 \(\small \displaystyle a_n = 160\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \)

*1：【補足】公比が実数の意味
公比\(\small r\)は\(\small \displaystyle r^3=\frac{1}{8}\)という3次方程式を満たすので、一般的に虚数解も含めて3つの解を持つことになります。
\begin{split}
&\small r^3=\frac{1}{8}\\
\small \Leftrightarrow \space &\small 8r^3-1=0\\
\small \Leftrightarrow \space &\small (2r-1)(4r^2+2r+1)=0\\
\small ∴ \space &\small \displaystyle r=\frac{1}{2}, \space \frac{-1\pm\sqrt{3}i}{4}\\
\end{split}
しかし、「公比が実数」という条件があることで、公比が\(\small \displaystyle \frac{1}{2}\)に絞られます。

等比数列の和｜公式の証明と覚え方のコツ

ここまでは等比数列の一般項（\(\small n\)番目の項）を求める公式について解説しました。
ここからは、等比数列の和を求める公式について解説していきます。
ここからは足し算の話ってことだね！

等比数列の和の公式

✓ 等比数列の和の公式（\(\small r\neq1\)の場合）
初項 \(\small a\), 公比 \(\small r\)（ただし\(\small r\neq 1\)）の等比数列において、初項から第\(\small n\)項までの和 \(\small S\)は
$$\small \displaystyle \color{#ff0055}{S=\frac{a(r^n-1)}{r-1}}$$

「\(\small r\neq 1\)」という条件は、「公比が1ではない場合」という意味です。
この条件はもちろん、和の公式の分母が\(\small r-1\)なので\(\small r=1\)の場合、
「分母=0」となってしまうのを回避するための条件です。

公比 \(\small r\)が1の場合、和はどうなる？

一方で公比が1の等比数列自体は考えられるので、この場合、等比数列の和はどうなるのでしょうか？
これは、等比数列で公比が1の数列を具体的にイメージするとすぐ求められます。

初項が\(\small a\), 公比が\(\small 1\)の等比数列の一般項は、等比数列の公式 \(\small a_n =ar^{n-1}\)であることから、

$$\small a_n = a\cdot 1^{n-1}=a$$

となります。つまり、「\(\small a, \space a, \space a,\space a,\space \cdots\) 」のように常に値が\(\small a\)の数列になります。
※等比数列の成り立ちから考えても、前の項を1倍した項が次の項になる＝前の項と同じ値なので全部が同じ値になるってことがわかるね

よって、公比が\(\small 1\)の等比数列の初項から第\(\small n\)項までの和は、\(\small n\)個の\(\small a\)を足し算するだけなので、\(\small S=na\)となります。

✓ 等比数列の和の公式（\(\small r=1\)の場合）
初項 \(\small a\), 公比 \(\small 1\)の等比数列において、初項から第\(\small n\)項までの和 \(\small S\)は
$$\small \displaystyle \color{#ff0055}{S=na}$$

等比数列の和｜公式の証明

ここでは等比数列の和の公式の証明方法を解説します。
\(\small r=1\)の場合は、前章で解説済なので\(\small r\neq1\)の場合について解説します。

（証明）
初項 \(\small a\)、公比 \(\small r\)の初項から第\(\small n\)項までの和\(\small S\)を具体的に書き出すと
$$\small S = a+ar+ar^2+ar^3+\cdots + ar^{n-2}+ar^{n-1} \quad \cdots ①$$
ここで、①の両辺を\(\small r\)倍すると
$$\small \color{#ff0055}{r}S = a\color{#ff0055}{r}+a\color{#ff0055}{r^2}+a\color{#ff0055}{r^3}+a\color{#ff0055}{r^4}+\cdots + a\color{#ff0055}{r^{n-1}}+a\color{#ff0055}{r^{n}} \quad \cdots ②$$
①、②の式を見比べると、\(\small ar\) ～ \(\small ar^{n-1}\)までの項が①②に共通しています。
よって、①\(\small -\)②を計算すると\(\small ar\) ～ \(\small ar^{n-1}\)までの項が消えるので、
\begin{split}
&\small S -rS= a-ar^{n}\\
\small \Leftrightarrow \space &\small (1-r)S= a(1-r^{n})\\
\small \Leftrightarrow \space &\small S= \frac{a(1-r^{n})}{1-r} \quad (∵ \space r\neq1)\\
\small ∴ \space &\small S= \frac{a(r^{n}-1)}{r-1}\\
\end{split}

等比数列の和｜公式の覚え方のコツ

等比数列の和の公式は、証明に記載した方法で導出もできますが大変です…。
なので、覚えておくのがおすすめです。

覚えるときには、

$$\small \displaystyle \color{#ff0055}{S=\frac{a(r^n-1)}{r-1}}$$

をそのまま覚えてもよいのですが、この公式は初項から第\(\small n\)項までの和の公式です。

せっかく覚えるのであれば、もう少し応用が利く便利な公式として、
等比数列を和の先頭から項数の個数だけ足し算した公式を覚えておくのがおすすめです。

当たり前ですが、和の先頭＝初項、項数を\(\small n\)とすれば、
初項から第\(\small n\)項目までの和の公式と一致します。

この公式で覚えておくと、等比数列の途中の項だけ足し算する問題や
今後出てくるシグマ計算のときに役立ちます（詳細は【問題1（2）】へ）。

【問題で確認】等比数列の和の求め方

初項 \(\small a=2\)、公比 \(\small r=3\)を等比数列の和の公式 \(\small \displaystyle \frac{a(r^n-1)}{r-1}\) に代入することで、

\begin{split}
\small \displaystyle \frac{2(3^n-1)}{3-1}=\color{red}{3^n-1 \quad \cdots 【答】}\\
\end{split}

【解答】
　\(\small 3^n-1\)

【補足】
等比数列の和の公式は、和の先頭が2、和をとる項数が\(\small n\)個（初項から第\(\small n\)項まで）であることから
$$\small \displaystyle （和の先頭） \cdot \frac{（公比）^{（項数）}-1}{（公比）-1}$$
の公式にあてはめて解くこともできます。

まずは一旦初項から第\(\small n\)項までの和を計算し、そのあとに初項と第\(\small n\)項の値を引き算することで、第2項から第\(\small n-1\)項の和を求めることができます。

初項から第\(\small n\)項までの和を\(\small S_n\)とします。

一般項を \(\small a_n=3\cdot 3^{n-1}\)のように少し変形させると（\(\small a_n=ar^{n-1}\)と見比べて初項と公比を把握するため）、初項が\(\small a=3\)、公比が\(\small r=3\)の等比数列であることが分かります。

よって、

\begin{split}
\small S_n &\small \displaystyle =\frac{a(r^n-1)}{r-1}\\
&\small \displaystyle =\frac{3(3^n-1)}{2} \quad \color{#ff0055}{* a=3, \space r=3を代入}\\
\end{split}

等比数列の初項は\(\small a_1=3\)、第\(\small n\)項は\(\small a_n=3^{n}\)であることから、求める和は

\begin{split}
\small S_n -a_n-a_1 &\small \displaystyle =\frac{3(3^n-1)}{2} -3^n-3\\
&\small \displaystyle =\frac{3(3^n-1)}{2} -\frac{2(3^n+3)}{2}\\
&\small \displaystyle =\frac{3(3^n-1)-2(3^n+3)}{2} \quad [*1]\\
&\small \displaystyle =\color{red}{\frac{3^n-9}{2} \space \cdots 【答】}\\
\end{split}

*1：【補足】式変形
分子の式変形は\(\small 3^n\)をひと塊と見なして計算する。
少し分かりにくければ、\(\small 3^n=x\)のように文字でおいて
\begin{split}
\small 3(3^n-1)-2(3^n+3) &\small =3(x-1)-2(x+3)\\
&\small =x-9\\
\end{split}
のように計算すればよいだろう。

【別解】初項、公比、項数で解く裏ワザ的解法

等比数列の和｜公式の覚え方のコツで紹介した覚え方を利用すると簡単に計算することができます。

和の先頭は第2項なので\(\small a_2=9\)、公比は3、和をとる項数は第2項から第\(\small n-1\)項までの\(\small n-2\)個であることから、

$$\small \displaystyle （和の先頭） \cdot \frac{（公比）^{（項数）}-1}{（公比）-1}$$にあてはめると

\begin{split}
&\small \displaystyle 9\cdot\frac{3^{n-2}-1}{3-1}=\frac{3^2(3^{n-2}-1)}{2}
&\small \displaystyle =\frac{3^{n}-9}{2}\\
\end{split}

となり、一気に求めたい和が計算できます。

【解答】
　\(\small \small \displaystyle \frac{3^{n}-9}{2}\)

初項から第\(\small n\)項までの和を \(\small S_n\)とすると、\(\small r\neq 1\)の場合

$$\small \displaystyle S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1}$$

問題の条件より、\(\small S_3=35, \space S_6=315\)を上記の公式に代入すると

\begin{split}
&\small \displaystyle S_3=\frac{a(r^3-1)}{r-1}=35\quad \cdots ①
\end{split}

\begin{split}
&\small \displaystyle S_6=\frac{a(r^6-1)}{r-1}=315\quad \cdots ②
\end{split}

②÷①より、

\begin{split}
&\small \displaystyle \frac{r^6-1}{r^3-1}=\frac{315}{35} \quad (∵ \space r \neq 1)\\
\small \Leftrightarrow \space &\small \displaystyle \frac{(r^3-1)(r^3+1)}{r^3-1}=9 \quad [*1]\\
\small \Leftrightarrow \space &\small \displaystyle r^3+1=9\\
\small \Leftrightarrow \space &\small \displaystyle r^3-8=0\\
\small \Leftrightarrow \space &\small \displaystyle (r-2)(r^2+2r+4)=0\\
\small ∴ \space &\small \displaystyle r=2 \quad （∵ 公比が実数 ⇔ rは実数）\\
\end{split}

*1：【補足】
\(\small \small r^6-1=(r^3)^2-1^2\)とみなして\(\small a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)の公式を利用しています。

\(\small r=2\)を①に代入することで

\begin{split}
&\small \displaystyle \frac{a(2^3-1)}{2-1}=35\\
\small \Leftrightarrow \space &\small 7a=35\\
\small ∴ \space &\small a=5\\
\end{split}

よって、一般項は、\(\small \color{red}{a_n =5\cdot2^{n-1} \space \cdots 【答】}\)

また、\(\small r=1\)の場合は、初項から第\(\small n\)項目までの等比数列の和は、\(\small S_n=na\)となるが、問題の条件を代入すると、

\begin{split}
&\small \displaystyle S_3=3a=35\\
\small ∴ \space &\small a=\frac{35}{3}\\
\end{split}
\begin{split}
&\small \displaystyle S_6=6a=315\\
\small ∴ \space &\small a=\frac{105}{2}\\
\end{split}

となり、条件を満たす初項が定まらないため不適です。

【解答】
　\(\small a_n =5\cdot2^{n-1}\)

📝Point
等比数列の和の公式を使う場合は、\(\small r=1\)、\(\small r \neq 1\)の場合をそれぞれ確認しましょう。

応用問題｜複利計算と等比数列の和

間隔を掴むために、例えば1年後の状態を考えてみましょう。

年の終わりに元本\(\small A\)円に対して年利率\(\small r\)が加わるので、返済前の返済金額の合計は\(\small A+Ar=A(1+r)\)円になります。

ここで、毎年の返済金額を\(\small x\)円とすると、この時点で\(\small x\)円は返済するので、1年目の返済後の返済金額の残高合計は、\(\small A(1+r)-x\) 円になります。
※毎年返済はすることに注意！

では、続いて2年目の終わり時点での返済金額を考えます。

1年目の終わりの元本\(\small A(1+r)-x\) 円に対して年利率 \(\small r\)が適用されるので、返済前の金額は

\begin{split}
&\small \{A(1+r)-x\}(1+r)=A(1+r)^2-x(1+r)\\
\end{split}

になります。ここから\(\small x\)円を返済するので、最終的な返済金額の残高合計は\(\small A(1+r)^2-x(1+r)-x\) 円になります。

同様に3年目、4年目と考えると返済後の残高合計はそれぞれ以下のようになります。

3年目：\(\small A(1+r)^3-x(1+r)^2-x(1+r)-x\) 円
4年目：\(\small A(1+r)^4-x(1+r)^3-x(1+r)^2-x(1+r)-x\) 円
※「前年の残高合計に\(\small 1+r\)をかけて\(\small x\)円を引く」と考えればよいですね！

ここまでの残高合計の式を見ると、次のような規則性があることに気が付きます。
・第1項目の\(\small 1+r\)の指数は「経過年数（何年後）」と同じ
・2項目以降は\(\small x(1+r)^●\)の「●」が「経過年数-1」乗から0乗（\(\small x(1+r)^0=x\)）まで1ずつ下がる

よって、\(\small n\)年後の返済金額の残高は

$$\small A(1+r)^n-x(1+r)^{n-1}-\cdots-x(1+r)-x$$

となります。\(\small n\)年で返済を完了させることから、この時点で返済残高が0になればよいので、

$$\small A(1+r)^n-x(1+r)^{n-1}-\cdots-x(1+r)-x=0$$

が今回求める\(\small x\)が満たす条件式です。

よって、

\begin{split}
&\small a(1+r)^n-\{x(1+r)^{n-1}+\cdots+x(1+r)+x\}=0\\
\small \Leftrightarrow \space &\small A(1+r)^n-\{\color{#ff0055}{x+x(1+r)+\cdots+x(1+r)^{n-1}}\}=0\\
\small \Leftrightarrow \space &\small A(1+r)^n-\color{#ff0055}{\frac{x\{(1+r)^n-1\}}{(1+r)-1}}=0 \quad [*1]\\
\small \Leftrightarrow \space &\small \frac{x\{(1+r)^n-1\}}{r}=A(1+r)^n\\
\small ∴ \space &\small x=\color{red}{\frac{Ar(1+r)^n}{(1+r)^n-1} \quad \cdots 【答】}\\
\end{split}

*1：【補足】等比数列の和の計算
括弧内の赤字箇所は、初項が\(\small x\)、公比が\(\small 1+r\)、項数が\(\small n\)の等比数列の和になっています。

【解答】
　\(\small \displaystyle \frac{Ar(1+r)^n}{(1+r)^n-1}\)

まとめ｜等比数列の一般項・和は問題演習が重要

今回は等比数列の一般項や和の公式の意味や証明、問題の解き方について解説しました。

解き方の方針自体は等差数列と同様に問題の条件をもとに公式に代入すれば解ける問題が多いですが、等比数列の場合は、立式したあとに初項と公比を求めるのが若干コツが必要（出てきた式同士を割り算したり因数分解で約分したりなど）です。一度解き方を確認して理解してしまえばそれほど難しくはないと思うので、問題を通して自力で解けるように復習しておきましょう。

また、等比数列の和の公式の応用問題として複利計算が典型問題になります。
普段あまりなじみのない概念なので、最初は難しく感じますが、一度イメージがついてしまえばあまり難しくないので、基礎問題をしっかりと解けるようにしておきましょう。

今回は以上です。お疲れさまでした！