本記事では等差数列の一般項と和の公式についてわかりやすく解説します。
こんな人におすすめ
✓ 等差数列の意味や一般項・和の公式の意味・証明（導出）について理解したい人
✓ 等差数列の一般項・和の公式の覚え方のコツを知りたい人
✓ 等差数列の一般項の求め方、和の求め方を問題を通して理解したい人
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ぺんきち｜高校数学の図解ノート
数学 / 理科（物理・化学・生物・地学）
本記事で扱う問題｜等差数列の一般項・和
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等差数列とは｜一般項の公式の意味と証明
等差数列とは
✓ 等差数列とは
並べられた数が、同じ数ずつ増える（または減る）数列を等差数列という。
「差」が「等しい」数列ってことだね！
✓ 等差数列の例
例1：\(\small 3, \space 5, \space 7, \space 9,\cdots\)
→「2」ずつ増えている数列なので等差数列である
例2：\(\small 3, \space 1, \space -1, \space -3,\cdots\)
→「2」ずつ減る（「\(\small -2\)」ずつ増える）数列なので等差数列である
「同じ数ずつ増減する」という点が等差数列のポイントです。
等差数列｜一般項の公式
等差数列は同じ数ずつ増減する数列なので、
規則性が分かれば知りたい項の値を求めることができます。
例えば、
$$\small 4, \space 7, \space 10, \space 13, \space \cdots$$
という等差数列の6番目の項を知りたい場合、
$$\small 4, \space 7, \space 10, \space 13, \space 16, \space \color{#ff0055}{\fbox{19}}, \space \cdots$$
のように、3ずつ足していけば力技でも求めることができます（笑）。
ですが、第100項目の値を知りたい場合はどうでしょう？
同じように3ずつ足していくやり方では時間がかかってしまい非効率です。
このような場合に使えるのが、等差数列の一般項の公式です。
✓ 等差数列の一般項の公式
初項 \(\small a\), 公差 \(\small d\)の等差数列の一般項は
$$\small a_n = a+(n-1)d$$
・公差（\(\small d\)）：いくらずつ増えるか（減るか）
・一般項（\(\small a_n\)）：\(\small n\)番目の項のこと
等差数列｜一般項の求め方【例題で解説】
数列を見ると、最初の項である\(\small 2\)が初項で、3ずつ増えていることから公差が3だと分かるので、\(\small a=2, \space d = 3\)を等差数列の一般項の公式に代入することで
\begin{split}
&\small a_n = 2+(n-1)\times 3\\
\small ∴ \space &\small \color{red}{a_n = 3n-1\space \cdots 【答】}\\
\end{split}
のように求めることができます。
試しに\(\small n=1\)を代入すると\(\small a_1=2\)、\(\small n=2\)を代入すると\(\small a_1=5\)となり、それぞれ数列の初項、第2項目とも一致していることが確認できます。
【補足】
数列の一般項を求めたら、実際に\(\small n=1, \space 2\)などを代入して問題の数列に一致するかを確認することで検算できます！
等差数列｜公式の証明
では、初項 \(\small a\)、公差\(\small d\)の等差数列の一般項が \(\small a_n = a+(n-1)d\)となる理由を解説します。
（証明）
\(\small \{a_n\}\)が初項 \(\small a\), 公差 \(\small d\)の等差数列であるとき、
\begin{split}
&\small a_1 = a \quad * 初項だから\\
&\small a_2 = a_1\color{#ff0055}{+d}=a+d\\
&\small a_3 = a_2\color{#ff0055}{+d}=(a+d)+d=a+2d\\
&\small \qquad \vdots
\end{split}
のように、ある項はその一つ前の項に公差 \(\small d\)を足し算することで求めることができる。
つまり、
$$\small a_n = a_{n-1}+d$$
が成り立つ。
この関係式を繰り返し用いることで、
\begin{split}
&\small a_n = a_{n-1}+d\\
&\small a_{n-1} = a_{n-2}+d\\
&\small a_{n-2} = a_{n-3}+d\\
&\small \qquad \vdots\\
&\small a_2 = a_1+d\\
&\small a_1 = a\\
\end{split}
となるので、下の式から順番に一つ上の式に代入していくことで、初項の\(\small a\)に\(\small a_2\)～\(\small a_{n}\)までの\(\small n-1\)個分の\(\small d\)が足し算されることになるので、
\begin{split}
\small a_n &\small = (a+d+d+\cdots +d)+d\\
&\small =a+(n-1)d\\
\end{split}
となる。
教科書的な証明自体はこんな感じですが、少し抽象的で分かりにくい部分もあったと思うので、ここからは嚙み砕いて解説していきます。
等差数列｜公式の意味と覚え方のコツ
等差数列の公式は、暗記ではなく意味から理解することが重要です。
公式の意味が理解できると覚えやすくなります。
いきなり一般項を考えると難しいので、まずは初項 \(\small a\)、公差\(\small d\)の等差数列の項を先頭から順番に書き出して感覚を掴みましょう。
まず、初項は\(\small a\)です。
第2項目は、初項 \(\small a\)に\(\small d\)を足し算すればよいので\(\small a+d\)になります。
第3項目は、第2項の \(\small a+d\)に\(\small d\)を足し算すればよいので\(\small a+2d\)になります。
同様に、第4項目は、第3項の \(\small a+2d\)に\(\small d\)を足し算して\(\small a+3d\)になります。
ここで、第2項目を求めるときには、初項に\(\small d\)を1回だけ足し算しています。
第3項目を求めるときは、初項に\(\small d\)を2回、第4項目を求めるときは3回だけ足し算しています。
ということは、第5項目を求めるときは初項に\(\small d\)を4回足し算すればよいことが分かります。
このように、初項から第\(\small n\)項までは\(\small n-1\)個の間隔があるため、
その分だけ公差 \(\small d\)が足し算されます。
「項数」と「間の数」は1個ズレることに注意 (ﾟДﾟ;)
つまり、第\(\small n\)項目を求めるには、
初項 \(\small a\)に\(\small d\)を\(\small n-1\)回足し算すれば求めることができます。
よって、等差数列の一般項は、
$$\small a_n=a+(n-1)d$$
と表すことができます。
\(\small n\)個の数字の間の数は\(\small n-1\)個になることに注意！
等差数列の和｜公式の証明と覚え方のコツ
ここまでは等差数列の一般項（\(\small n\)番目の項）を求める公式について解説しました。
ここからは、等差数列の和を求める公式について解説していきます。
ここからは足し算の話ってことだね！
等差数列の和の公式
✓ 等差数列の和の公式
初項 \(\small a\), 公差 \(\small d\)の等差数列について、和を\(\small S\)とすると
$$\small \displaystyle \color{#ff0055}{S=\frac{1}{2}\times（和の項数）\times(和の先頭+和の最後)}$$
が成り立つ。
特に、初項から第\(\small n\)項 \(\small a_n=a+(n-1)d\)までの等差数列の和は
和の項数が\(\small n\)であることに注意すると
\begin{split}
&\small \displaystyle S=\frac{1}{2}n(a_1+a_n)\\
\small \Leftrightarrow \space &\small \displaystyle S=\frac{1}{2}n\{a+a+(n-1)d\}\\
\small \Leftrightarrow \space &\small \displaystyle \color{#ff0055}{S=\frac{1}{2}n\{2a+(n-1)d\}}\\
\end{split}
等差数列の和の公式はなぜ成り立つ？
等差数列の和の公式を理解するために、まずは具体的な数列の和の計算を例に考え方を理解するところから始めましょう。
📌具体例で考え方を理解しよう
以下の問題を考えてみましょう。
【問題】
1, 3, 5, 7, 9, … という等差数列の初項から第5項までの和を求めよ。
もちろん、答えは\(\small 1+3+5+7+9=25\)なのですが、もっと簡単に計算できる方法はないでしょうか？
ここで、問題の数列を逆向きに並べた数列を考えます （唐突(ﾟДﾟ;）)。
もとの数列と上下に並べてみると何か気づくことはありませんか？
実は、縦を足し算するとすべて「10」になります。
ここで重要なのは、もとの数列と逆に並べた数列を縦に足し算するとすべて同じ数になるということ。
すると、同じ数が項数分（今回であれば5項分）できるので、
もとの数列と逆に並べた数列のすべての数の和は
$$\small 縦の和 \times 項数 = 10 \times 5 = 50$$
と計算できます。
ここで、実際に求めたい和はもとの数列の和ですが、逆に並べた数列は順番が逆になっているだけで和自体は元の数列と同じです（『\(\small 1+3+5+7+9\)』 も 『\(\small 9+7+5+3+1\)』も和は同じ）。
なので、今求めた和はもとの数列2個分の和になっているので、求めたい和はその半分、すなわち
$$\small 縦の和 \times 項数 \times \frac{1}{2}$$
で計算できます。
よって、
$$\small 50 \times \frac{1}{2}= 25$$
になります。
📌等差数列の和の公式が成り立つ理由
具体例で確認した考え方を一般化すると、等差数列の和の公式になります。
「縦の和」と呼んでいた和は、どこでも同じ値になることから、上図の一番左側に着目すると、和の先頭と最後の数の和であることが分かります。
つまり、
$$\color{#ff0055}{縦の和＝和の先頭＋和の最後}$$
です。
それ以降の考え方は具体例と同様に、縦の和が項数分あって、最後に2で割ることで求めたい数列の和になるので、
\begin{split}
&\small \displaystyle S = 縦の和 \times 項数 \times \frac{1}{2}\\
\small \Leftrightarrow \space &\small \displaystyle S = (和の先頭＋和の最後) \times 項数 \times \frac{1}{2}\\
\small ∴ \space &\small \displaystyle S = \frac{1}{2}\times 項数 \times (和の先頭＋和の最後) \\
\end{split}
となります。
【補足】なぜ和の先頭＋和の最後が同じになるのか？
等差数列は、同じ数ずつ増減する数列でした。
これは図形的に考えると階段と捉えることができます。
そのため、逆順に並べることで、上図のように
デコとボコがうまくかみ合って、すべてが同じ値（高さ）になるわけです。
等差数列の和｜公式の覚え方のコツ
等差数列の和の公式は、前章で解説したブロックのイメージがあれば、
和の先頭と最後を足し算した数が項数分できてその半分が求める和
というイメージできるはずです。
求め方を忘れてしまったら、考え方の具体例で解説したように
『もとの数列と逆に並べた数列を縦に足す』という手順を、
数が小さい数列の和（1+2+3とか）で具体的に考えてみると思い出しやすいと思います。
この考え方を理解したうえで
$$\small \displaystyle \color{#ff0055}{S=\frac{1}{2}\times（和の項数）\times(和の先頭+和の最後)}$$
の公式を覚えるのが一番おすすめです。
理由は、この公式が最も本質的かつ応用が利く公式だからです。
使い方は次章の例題や問題編で解説します。
📌 初項から末項までの和の公式も簡単に導ける
等差数列の和の公式は、教科書では
\begin{split}
&\small S=\frac{1}{2}n(a+\ell)= \frac{1}{2}n\{2a+(n-1)d\}\\
&\small \quad ※ \space ただし、\ellは末項
\end{split}
と記載されています。
しかし、この公式は等差数列の初項から末項（和の最後）までの和を求める公式なので、
本来、和の先頭が初項ではない場合は使えません。（＊1）
＊1：補足
「初項」を「和の最初の項」と解釈すれば、冒頭の式と同じ意味になります。
しかし、初項とは本来、等差数列の第1項目という意味です。
これは誤解を招く表現であり、ミスのもとになるため、ここでは「和の先頭」という言葉を使います。
\(\small \displaystyle \color{#ff0055}{S=\frac{1}{2}\times（和の項数）\times(和の先頭+和の最後)}\) と覚えておけば、
等差数列の初項から第\(\small n\)項までの和の公式も簡単に導くことができます。
✓ 【初項～末項までの和の公式】導出のやり方
公式 \(\small \displaystyle S=\frac{1}{2}\times（和の項数）\times(和の先頭+和の最後)\) に、
・和の項数 \(\small = n\)
・和の先頭 \(\small =a_1= a\)
・和の最後 \(\small =a_n= a+(n-1)d\)
を代入することで、
\begin{split}
\small S &\small =\frac{1}{2}n(a_1+a_n)\\
&\small =\frac{1}{2}n \left[a+\{a+(n-1)d\}\right]\\
&\small =\frac{1}{2}n\{2a+(n-1)d\}\\
\end{split}
複数の公式を暗記するのではなく、本質となる求め方の考え方を理解することが
あとで公式を忘れない、応用力の基礎になります。
等差数列の和｜公式の使い方【例題で解説】
初項\(\small 1\), 公差\(\small 3\)の等差数列の一般項を \(\small a_n\)とすると
$$\small a_n = 3n-2 \space \cdots ①$$
等差数列の和を求めるには、
$$\small \displaystyle S=\frac{1}{2}\times（和の項数）\times(和の先頭+和の最後)$$
を利用します。
そのため、和の項数、和の先頭、和の最後を確認していきましょう。
[1] 和の項数
第10項から第20項までの和なので、11項 … ② になります（*1）
*1：補足
項の数は\(\small 20-10=10\)項ではないことに注意！！あるあるのミスです…
項の数を求めるときは、引き算した数に「＋１」が必要です。
「＋１」するべきか迷った場合は、第1項から第3項までの項数は３個だから
\(\small 3-1=2\)に「＋１」してるな、と具体的な小さい数で確認すればOKです。
※ちなみに引き算で求められるのは項の「間隔の数」です。
[2] 和の先頭
第10項目なので、①より、
$$\small a_{10}=3\cdot 10-2=28 \space \cdots ③$$
[3] 和の最後
第20項目なので、①より、
$$\small a_{20}=58 \space \cdots ④$$
②、③、④より、求める数列の和は
\begin{split}
\small S &\small \displaystyle =\frac{1}{2}\times（和の項数）\times(和の先頭+和の最後)\\
&\small \displaystyle =\frac{1}{2}\times11 \times(28+58)\\
&\small \displaystyle =\color{red}{473 \space \cdots 【答】}\\
\end{split}
等差数列の一般項・和の求め方
【問題1】等差数列の一般項①
●等差数列の一般項の公式
初項 \(\small a\)、公差 \(\small d\)の等差数列の第\(\small n\)項目は、
\(\small \color{#ff0055}{a_n = a+(n-1)d}\)
等差数列の公式 \(\small a_n = a+(n-1)d\)に、初項 \(\small a=3\), 公差 \(\small d=2\)を代入することで、
\begin{split}
&\small a_n =3+(n-1)\cdot 2\\
\small \Leftrightarrow \space &\small \color{red}{a_n =2n+1\quad \cdots 【答】}\\
\end{split}
第\(\small 100\)項目（100番目）は、一般項に\(\small n=100\)を代入すればよいので、
\begin{split}
&\small a_{\color{#ff0055}{100}} =2\cdot \color{#ff0055}{100}+1=\color{red}{201\quad \cdots【答】}\\
\end{split}
【解答】
・一般項：\(\small a_n =2n+1\)
・第\(\small 100\)項目：\(\small 201\)
【問題2】等差数列の一般項②
等差数列の初項を \(\small a,\) 公差を\(\small d\)とすると、等差数列の一般項は
$$\small a_n = a+(n-1)d \space \cdots ①$$
ここで、第4項が14とは、\(\small n=4\)のとき、数列の値が \(\small a_4=14\)ということなので、この条件を①に代入すると
\begin{split}
&\small a_4=a+(4-1)d\\
\small \Leftrightarrow \space &\small a+3d=14 \space \cdots ②\\
\end{split}
同様に、第10項が62とは、\(\small n=10\)のとき \(\small a_{10}=62\)なので
\begin{split}
&\small a+9d=62 \space \cdots ③\\
\end{split}
あとは、②、③の連立方程式を解いて\(\small a, \space d\)の値を求めればよいでしょう。
③\(\small -\)②より、
\begin{split}
&\small 6d=48\\
\small ∴ \space &\small d=8 \space \cdots ④ \space *これが公差\\
\end{split}
④を②に代入すると、\(\small a=-10 \space \cdots ⑤ \space *これが初項\)
よって、④、⑤を①に代入することで、一般項は
\begin{split}
&\small a_n = a+(n-1)d\\
\small \Leftrightarrow \space &\small a_n = -10+(n-1)\cdot 8\\
\small ∴ \space &\small \color{red}{a_n = 8n-18 \space \cdots 【答】}\\
\end{split}
【解答】
初項 \(\small -10\), 公差 \(\small 8\), 一般項 \(\small a_n = 8n-18\)
【別解】公式を使わずに初項・公差を求める
第4項から第10項までの「項数の間隔」は \(\small 10-4=6\)個なので、
等差数列（差が同じ）であれば、値の差は公差 6個分になるはずです。
ゆえに、数列の値 14と62の差である \(\small 62-14=48\)が公差6個分なので、
公差は、\(\small 48 \div 6 = 8\)と分かります。
さらに、初項と第4項の項数の間隔は3個なので、
初項は第4項よりも公差3個分小さい値になるはずです。
ゆえに、初項は \(\small 14 – 8\times 3 =10-24=-10\)と求めることができます。
【問題3】基礎問題｜等差数列の和
項の「間の数」が求まれば、末項が第何項目かがわかる。
和の先頭は初項で5, 和の最後は末項で53と既に分かっているので、
あとは和の項数が求まれば全体の和を求めることができる。
初項と末項の差は、\(\small 53-5=48\)であり、公差が3であることから、
\(\small 48 \div 3 = 16\)が項の間の数になる。
初項から間の数である16個だけ進んだ位置が末項なので、末項は第17項になる。（＊1）
＊1：補足
小さい数で考えればわかりやすいだろう。
この例では、間の数が2個の場合、初項から2個進んだ項なので第3項になる。
つまり、間の数に「＋1」すれば項が何番目か求めることができる。
数列の問題は問題の数字が大きくて分かりずらい場合は小さい数で規則性を確認するのがおすすめです！
よって、初項から第17項までの和の項数は17項。
以上より、等差数列の和を\(\small S\)とすると、
\begin{split}
\small S &\small \displaystyle = \frac{1}{2}\times （和の項数）\times (和の先頭+和の最後) \space \cdots ①\\
&\small \displaystyle = \frac{1}{2}\times 17 \times (5+53)\\
&\small \displaystyle =\color{red}{493 \space \cdots 【答】}\\
\end{split}
【解答】
\(\small 493\)
【別解】等差数列の公式を利用した解法
末項が第何項目かの求め方は、等差数列の一般項の公式を利用して求めることもできます。
※若干、計算量が多いので解答の方法で解けるようにしておく方がベターです…
問題の等差数列を\(\small \{a_n\}\)とすると、一般項は
$$\small a_n = 5+(n-1)\cdot 3 = 3n+2$$
より、\(\small a_n=53\)となるときの\(\small n\)を求めると
\begin{split}
&\small 3n+2 =53\\
\small \Leftrightarrow \space &\small 3n =51\\
\small ∴ \space &\small n=17\\
\end{split}
以降は解答と同様。
【問題4】応用問題｜等差数列の和
2次方程式は、解いて終わりではなく、解の吟味まで忘れないように注意したい。
第\(\small n\)項までの和が63になるとする。
和の先頭は初項なので\(\small 3\)、和の最後は等差数列の第\(\small n\)項なので、
\(\small a_n=3+(n-1)\cdot 2=2n+1\)、和の項数は\(\small n\)（初項～\(\small n\)項までの和）より
\begin{split}
&\small \displaystyle \frac{1}{2}n(a_1+a_n)=63\\
\small \Leftrightarrow \space &\small \displaystyle n(3+2n+1)=126\\
\small \Leftrightarrow \space &\small \displaystyle 2n^2+4n-126=0\\
\small \Leftrightarrow \space &\small \displaystyle n^2+2n-63=0\\
\small \Leftrightarrow \space &\small \displaystyle (n-7)(n+9)=0\\
\small ∴ \space &\small \displaystyle n=7, -9\\
\end{split}
ここで、\(\small n\)は自然数（項数だから）であることから、\(\small n=-9\)は不適。
よって、答えは\(\small n=7\)のみであり、第\(\small 7\)項目…【答】。
【解答】
第\(\small 7\)項目
まとめ｜数列の一般項・和は公式の意味の理解が重要
今回は等差数列の一般項と和の公式と求め方について解説しました。
公式は重要なのですが、ただ丸暗記しただけだと公式に代入するだけの問題であれば解けますが、応用問題で躓きます。等差数列に限らず数列の問題では、「第10項から第20項までの項数の求め方」のように、公式にはなっていないけどちょっとしたコツがいる計算がよく出てきます。このような計算が苦手な人は図をかいたり、小さい数で実験することで規則性を把握するということを意識しましょう（問題2の別解や問題3の末項の項数を求める考え方は理解しておくと数列に強くなります！）。
特に項数の求め方は、ミスが頻出する箇所なのでここでしっかりと整理しておきましょう。
✓ 項数の求め方
第1項から第5項までの項数の求め方は
（第5項）ー（第1項）＋１＝5項
つまり、一般的には
項数の引き算＋１
で求められる。
実際に数えれば5項とすぐわかりますが、あえて計算式にすると
引き算に「＋１」が必要という規則性があると分かります。
このように小さい数で実験して規則性を把握するのがおすすめです！
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今回は以上です。お疲れさまでした！
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