三角関数の変換公式｜意味・証明・覚え方・使い方を例題付きでわかりやすく解説

今回は三角関数の変換公式の証明と覚え方のコツについて解説します。

こんな人におすすめ
✓ 変換公式とは何か、公式の意味を理解したい人
✓ 変換公式の証明と覚え方を知りたい人
✓ 変換公式の使い方を例題を通して理解したい人

三角関数の変換公式とは

まずは三角関数の変換公式を確認しておきましょう。

✓ \(\small \theta+2n\pi\) の変換公式
・\(\small \sin(\theta+2n\pi)=\sin\theta\)
・\(\small \cos(\theta+2n\pi)=\cos\theta\)
・\(\small \tan(\theta+2n\pi)=\tan\theta\)

✓ \(\small -\theta\) の変換公式
・\(\small \sin(-\theta)=-\sin\theta\)
・\(\small \cos(-\theta)=\cos\theta\)
・\(\small \tan(-\theta)=-\tan\theta\)

✓ \(\small \pi \pm \theta\) の変換公式
・\(\small \sin(\pi\pm\theta)=\mp\sin\theta\)
・\(\small \cos(\pi\pm\theta)=-\cos\theta\)
・\(\small \tan(\pi\pm\theta)=\pm\tan\theta\)

✓ \(\small \displaystyle \frac{\pi}{2}\pm \theta\) の変換公式
・\(\small \displaystyle \sin\left( \frac{\pi}{2}\pm\theta \right)=\cos\theta\)
・\(\small \displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}\pm\theta\right)=\mp\sin\theta\)
・\(\small \displaystyle \tan\left(\frac{\pi}{2}\pm\theta\right)=\mp\frac{1}{\tan\theta}\)

\(\small \theta+2n\pi\)の変換公式とは｜公式の意味と証明・覚え方のコツ

\(\small \theta+2n\pi\)の変換公式の意味

✓ \(\small \theta+2n\pi\) の変換公式
・\(\small \sin(\theta+2n\pi)=\sin\theta\)
・\(\small \cos(\theta+2n\pi)=\cos\theta\)
・\(\small \tan(\theta+2n\pi)=\tan\theta\)

三角関数の角度を \(\small \theta+2n\pi\)から\(\small \theta\)に変換する公式です。

この公式の意味を端的に言うと、

\(\small n\)周しても三角関数の値は変わらない

となります。

どういうことか、次章でもう少し詳しく確認していきましょう。

\(\small \theta+2n\pi\)の変換公式の証明

\(\small 2n\pi\)は単位円\(\small n\)周を表す

\(\small 2n\pi \)は、単位円1周分である\(\small 2\pi \)（360°）の\(\small n\)倍なので、単位円\(\small n\)周分を意味しています。

つまり、\(\small \theta+2n\pi\)は、\(\small \theta\)の位置から\(\small n\)周した位置になるので、
元の位置\(\small \theta\)と\(\small n\)周後の位置は同じ位置になります（ここが重要！）。

『単位円上の位置が同じ』＝『sin・cos・tanの値が同じ』

また、sin・cos・tanの値は、単位円上の位置が同じであれば同じ値になります。

理由は、単位円上を考えると分かります。
単位円上でのsin・cos・tanの値は、三角関数の定義から、

\begin{cases}
\small \displaystyle \sin\theta = \frac{y_1}{1}=y_1（y座標）\\
\small \displaystyle \cos\theta = \frac{x_1}{1}=x_1（x座標）\\
\small \displaystyle \tan \theta = \frac{y_1}{x_1}\\
\end{cases}

となります。

よって、単位円上の同じ位置であれば\(\small x\)座標、\(\small y\)座標が同じなので
sin・cos・tanの値も同じになります。

まとめると…

よって、

・\(\small \theta+2n\pi\)と\(\small \theta\)の単位円上での位置が同じ
・単位円上の位置が同じであればsin・cos・tanの値が同じ

ということを踏まえると、\(\small \theta+2n\pi\)と\(\small \theta\)のsin・cos・tanの値が同じになると言えます。

つまり端的に言えば、\(\small n\)周しても単位円上の位置が同じなので、三角関数の値も同じということです。

単位円をイメージしてあげれば理解しやすい！

【補足】
ついでに補足すると、\(\small n\)周して関数が同じ値になることを周期性と言います。
三角関数は代表的な周期関数です。

\(\small \theta+2n\pi\)の変換公式の覚え方のコツ

\(\small \theta+2n\pi\)の変換公式では

\(\small 2n\pi\)が単位円\(\small n\)周分を表している

ということを理解しておきましょう。
そうすれば、公式は直感的に理解できると思います。

\(\small -\theta\)の変換公式とは｜公式の意味と証明・覚え方のコツ

\(\small -\theta\)の変換公式の意味

✓ \(\small -\theta\) の変換公式
・\(\small \sin(-\theta)=-\sin\theta\)
・\(\small \cos(-\theta)=\cos\theta\)
・\(\small \tan(-\theta)=-\tan\theta\)

この公式は

\(\small \theta\)と\(\small -\theta\)の三角関数の値の関係性

を表した公式になります。

\(\small -\theta\)の変換公式の証明

角度の符号の意味は？

単位円上の角度には、正の方向と負の方向があり、
正の方向が反時計回り、負の方向が時計回りという決まりになっています。

つまり、公式にある\(\small -\theta\)は、\(\small \theta\)と反対方向に位置する三角関数の値を意味しています。

単位円で理解する公式の証明

では、\(\small -\theta\)での三角関数がどんな値になるか、単位円で確認していきましょう。

単位円上で、\(\small \theta\)と\(\small -\theta\)の位置におけるsin、cosの位置関係は下図のようになります。

単位円では、\(\small \cos\theta\)は\(\small x\)の値、\(\small \sin \theta\)は\(\small y\)の値なので、
\(\small \theta\)と\(\small -\theta\)の位置関係は\(\small x\)軸対称になります。

つまり、cos（\(\small x\)座標）の値は変わらず、
sin（\(\small y\)座標）の値だけ符号が反転することが分かります。

このことを関係式で表したのが

　・\(\small \sin(-\theta)=-\sin\theta\)　◀ \(\small y\)座標は符号が反転
　・\(\small \cos(-\theta)=\cos\theta\)　◀ \(\small x\)座標は変わらない

です。

最後に、tanの値は、\(\small \displaystyle \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}\)の関係式から

\begin{split}
\small \tan(-\theta) &\small \displaystyle =\frac{\sin(-\theta)}{\cos(-\theta)}\\
&\small \displaystyle = \frac{-\sin\theta}{\cos\theta}\\
&\small \displaystyle = -\tan\theta\\
\end{split}

のように導くことができます。

\(\small -\theta\)の変換公式の覚え方のコツ

\(\small -\theta\)の変換公式は

単位円を描いて、\(\small \theta\)と\(\small -\theta\)の三角関数の位置関係を比較

と覚えておくと、自然に公式を導出できるのでおすすめです。

\(\small \pi \pm \theta\)の変換公式｜公式の意味と証明・覚え方のコツ

\(\small \pi \pm \theta\)の変換公式の意味

✓ \(\small \pi \pm \theta\) の変換公式
・\(\small \sin(\pi\pm\theta)=\mp\sin\theta\)
・\(\small \cos(\pi\pm\theta)=-\cos\theta\)
・\(\small \tan(\pi\pm\theta)=\pm\tan\theta\)

この公式は

\(\small \pi \pm \theta\)と\(\small \theta\)の三角関数の値の関係性

を表した公式になります。

\(\small \pi \pm \theta\)の変換公式の証明

単位円上での\(\small \pi \pm \theta\)の位置

単位円上の\(\small \pi \pm \theta\)と\(\small \theta\)のそれぞれの位置は下図の通りです。

角度 \(\small \pi\)を基準に\(\small +\theta\)進んだ位置が\(\small \pi + \theta\)、逆に\(\small -\theta\)（時計回りに\(\small \theta\)）進んだ位置が\(\small \pi – \theta\)になります。

単位円で理解する\(\small \pi + \theta\)公式の証明

単位円上の\(\small \pi + \theta\)と\(\small \theta\)の位置での三角関数の値を比較することで証明できます。

● \(\small \sin(\pi+\theta)=-\sin\theta\)の証明
\(\small \pi+\theta\)の位置（赤丸）と\(\small \theta\)の位置（黒丸）のsinの値（\(\small y\)座標）を比較します。
すると、符号が逆転しているだけなので、\(\small \sin(\pi+\theta)=-\sin\theta\)となります。

● \(\small \cos(\pi+\theta)=-\cos\theta\)の証明
同じように\(\small \pi+\theta\)の位置（赤丸）と\(\small \theta\)の位置（黒丸）のcosの値（\(\small x\)座標）を比較すると、符号だけ逆転しているので、\(\small \cos(\pi+\theta)=-\cos\theta\)になることが分かります。

● \(\small \tan(\pi+\theta)=\tan\theta\)の証明
\(\small \sin(\pi+\theta)=-\sin\theta\)、\(\small \cos(\pi+\theta)=-\cos\theta\)であることから、
\begin{split}
\small \tan(\pi+\theta) &\small \displaystyle =\frac{\sin(\pi+\theta)}{\cos(\pi+\theta)}\\
&\small \displaystyle =\frac{-\sin\theta}{-\cos\theta}\\
&\small =\tan\theta\\
\end{split}
と示すことができます。

単位円で理解する\(\small \pi – \theta\)公式の証明

同様に、単位円上の\(\small \pi – \theta\)と\(\small \theta\)の位置での三角関数の値を比較することで証明できます。

● \(\small \sin(\pi-\theta)=\sin\theta\)の証明
\(\small \pi-\theta\)の位置（青丸）と\(\small \theta\)の位置（黒丸）のsinの値（\(\small y\)座標）を比較すると、同じ値になっていることから、\(\small \sin(\pi-\theta)=\sin\theta\)となります。

● \(\small \cos(\pi-\theta)=-\cos\theta\)の証明
同じように\(\small \pi-\theta\)の位置（青丸）と\(\small \theta\)の位置（黒丸）のcosの値（\(\small x\)座標）を比較すると、符号だけ逆転しているので、\(\small \cos(\pi-\theta)=-\cos\theta\)になることが分かります。

● \(\small \tan(\pi-\theta)=-\tan\theta\)の証明
\(\small \sin(\pi-\theta)=\sin\theta\)、\(\small \cos(\pi-\theta)=-\cos\theta\)であることから、
\begin{split}
\small \tan(\pi-\theta) &\small \displaystyle =\frac{\sin(\pi-\theta)}{\cos(\pi-\theta)}\\
&\small \displaystyle =\frac{\sin\theta}{-\cos\theta}\\
&\small =-\tan\theta\\
\end{split}
と示すことができます。

\(\small \pi \pm \theta\)の変換公式の覚え方のコツ

📌 公式の覚え方のコツ

\(\small \pi \pm \theta\)の変換公式は、単位円を描いて、\(\small \pi \pm \theta\)と\(\small \theta\)の三角関数の位置関係を比較すれば導き出すことができます。

ただし、単位円上の位置を考えるのが少し面倒なので、定期テストや受験向けには、

加法定理を使って導出

できるようにしておきましょう！

～加法定理を用いた導出のやり方（\(\small \sin(\pi-\theta)\)の場合）～
\begin{split}
\small \sin(\pi-\theta) &\small = \sin\pi\cos\theta-\cos\pi\sin\theta\\
&\small = 0\cdot \cos\theta-(-1)\cdot \sin\theta\\
&\small =\sin\theta\\
\end{split}
単純に公式にあてはめるだけですね！

\(\small \displaystyle \frac{\pi}{2}\pm\theta\)の変換公式｜公式の意味と証明・覚え方のコツ

\(\small \displaystyle \frac{\pi}{2}\pm\theta\)の変換公式の意味

✓ \(\small \displaystyle \frac{\pi}{2}\pm \theta\) の変換公式
・\(\small \displaystyle \sin\left( \frac{\pi}{2}\pm\theta \right)=\cos\theta\)
・\(\small \displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}\pm\theta\right)=\mp\sin\theta\)
・\(\small \displaystyle \tan\left(\frac{\pi}{2}\pm\theta\right)=\mp\frac{1}{\tan\theta}\)

この公式は

\(\small \displaystyle \frac{\pi}{2} \pm \theta\)と\(\small \theta\)の三角関数の値の関係性

を表した公式になります。

\(\small \displaystyle \frac{\pi}{2}\pm\theta\)の変換公式の証明

他の変換公式同様に、これらの関係式が成り立つ理由を単位円で考えみましょう。

\(\small \displaystyle \frac{\pi}{2}\pm\theta\) でのsin・cos・tanの値を文字で表す

90°（\(\small y\)軸）を基準に\(\small \pm\theta\)した位置の三角関数と\(\small \theta\)での三角関数の位置関係を比較します。

図のように\(\small \displaystyle \frac{\pi}{2}-\theta\)（青丸）での\(\small x\)座標を\(\small a\)、\(\small y\)座標を\(\small b\)とおくと、
\(\small \displaystyle \frac{\pi}{2}+\theta\)（赤丸）での\(\small x\)座標は左右対称なので\(\small -a\)、\(\small y\)座標は\(\small b\)になることが分かります。

このことから、それぞれの角度でのsin・cos・tanの値は、
三角関数の定義式から次ように表すことができます。

\begin{split}
\begin{cases}
\small \displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=b\\
\small \displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=a\\
\small \displaystyle \tan\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\frac{b}{a}\\
\end{cases}
\small \quad \cdots ①
\end{split}

\begin{split}
\begin{cases}
\small \displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)=b\\
\small \displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)=-a\\
\small \displaystyle \tan\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)=-\frac{b}{a}\\
\end{cases}
\small \quad \cdots ②
\end{split}

\(\small \theta\) でのsin・cos・tanの値を文字で表す

原点、赤丸、\(\small b\)の3点でできる直角三角形（下図の黄色い三角形）の角\(\small \theta\)が左下に来るように三角形を回転させることで、\(\small \sin\theta\), \(\small \cos\theta\), \(\small \tan\theta\)の値を\(\small a ,\space b\)を使って表せます。

\begin{split}
\begin{cases}
\small \displaystyle \sin\theta=a\\
\small \displaystyle \cos\theta=b\\
\small \displaystyle \tan\theta=\frac{a}{b}\\
\end{cases}
\small \quad \cdots ③
\end{split}

\(\small \displaystyle \frac{\pi}{2}\pm \theta\)と\(\small \theta\) のsin・cos・tanの値を比較する

最後に、\(\small a ,\space b\)で表した関係式を比較することで変換公式が証明できます。

●\(\small \displaystyle \frac{\pi}{2}+\theta\) の変換公式の証明
\(\small \displaystyle \frac{\pi}{2}+\theta\)（②）と\(\small \theta\)（③）での三角関数の値を比較することで、
\begin{split}
&\small \displaystyle \color{#ff0055}{\sin\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)}=b=\color{#ff0055}{\cos\theta}\\
&\small \displaystyle \color{#ff0055}{\cos\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)}=-a=\color{#ff0055}{-\sin\theta}\\
&\small \displaystyle \color{#ff0055}{\tan\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)}=-\frac{b}{a}=-\frac{1}{\dfrac{a}{b}}=\color{#ff0055}{-\frac{1}{\tan\theta}}\\
\end{split}

●\(\small \displaystyle \frac{\pi}{2}-\theta\) の変換公式の証明
\(\small \displaystyle \frac{\pi}{2}-\theta\)（①）と\(\small \theta\)（③）での三角関数の値を比較することで、
\begin{split}
&\small \displaystyle \color{#ff0055}{\sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}=b=\color{#ff0055}{\cos\theta}\\
&\small \displaystyle \color{#ff0055}{\cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}=a=\color{#ff0055}{\sin\theta}\\
&\small \displaystyle \color{#ff0055}{\tan\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}=\frac{b}{a}=\frac{1}{\dfrac{a}{b}}=\color{#ff0055}{\frac{1}{\tan\theta}}\\
\end{split}

\(\small \displaystyle \frac{\pi}{2}\pm\theta\)の変換公式の覚え方のコツ

90°回転していると単位円をかいて考えても難しいので、

加法定理を使って導出

ができればOKです。

\(\small \displaystyle \frac{\pi}{2}\pm \theta\)を見たときに、角度\(\small \theta \)と90°だけズレていると、直角三角形のタテヨコの辺が入れ替わるため、sinとcosの値が逆になることは感覚的に理解しておくと、少し特殊な式変形が求められる問題で閃きやすくなります。

例題｜変換公式の使い方

最後に、三角関数の変換の使い方を確認して終わりにしましょう。

【問題1】変換公式の使い方

加法定理を習ってない人は読み飛ばしてね(^^;)

加法定理より

\begin{split}
\small \sin(\theta-\pi)&\small =\sin\theta\cos\pi-\cos\theta\sin\pi\\
&\small =\sin\theta\cdot (-1)-\cos\theta\cdot 0\\
&\small =\color{red}{-\sin\theta \quad \cdots 【答】}\\
\end{split}

\begin{split}
\small \cos(\theta-\pi)&\small =\cos\theta\cos\pi+\sin\theta\sin\pi\\
&\small =\cos\theta\cdot (-1)+\sin\theta\cdot 0\\
&\small =\color{red}{-\cos\theta \quad \cdots 【答】}\\
\end{split}

tanの値は三角関数の関係式を用いることで

\begin{split}
\small \tan(\theta-\pi) &\small \displaystyle =\frac{\sin(\theta-\pi)}{\cos(\theta-\pi)}\quad ＊\tanの関係式\\
&\small \displaystyle =\color{#ff0055}{\frac{-\sin\theta}{-\cos\theta}} \quad \color{#ff0055}{＊導出した関係式を利用}\\
&\small =\color{red}{\tan\theta \quad \cdots 【答】}\\
\end{split}

【解答】
　\(\small \sin(\theta-\pi)=-\sin\theta\),
　\(\small \cos(\theta-\pi)=-\cos\theta\),
　\(\small \tan(\theta-\pi)=\tan\theta\)

【問題2】変換公式を用いた三角関数の値

\begin{split}
\small \displaystyle \sin\frac{13}{4}\pi & \small \displaystyle =\sin\left(\frac{8}{4}\pi+\frac{5}{4}\pi\right)\\
& \small \displaystyle =\sin\left(2\pi+\frac{5}{4}\pi\right)\\
& \small \displaystyle =\sin\frac{5}{4}\pi \quad \color{#ff0055}{*\sin(2\pi+\theta)=\sin\thetaを利用}\\
& \small \displaystyle =\sin\left(\pi+\frac{\pi}{4}\right)\\
& \small \displaystyle =\sin\pi\cos\frac{\pi}{4}+\cos\pi\sin\frac{\pi}{4}\quad \color{#ff0055}{*加法定理を利用}\\
& \small \displaystyle =0\cdot \cos\frac{\pi}{4}+(-1)\cdot \sin\frac{\pi}{4}\\
& \small \displaystyle =-\sin\frac{\pi}{4}\\
&\small \displaystyle =\color{red}{-\frac{1}{\sqrt{2}} \quad \cdots 【答】}\\
\end{split}

【解答】
　\(\small \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\)

\begin{split}
\small \displaystyle \cos\left(-\frac{17}{3}\pi\right) & \small \displaystyle =\cos\frac{17}{3}\pi\\
& \small \displaystyle =\cos\left(4\pi+\frac{5}{3}\pi\right) \\
& \small \displaystyle =\cos\frac{5}{3}\pi\quad \color{#ff0055}{*\cos(2n\pi+\theta)=\cos\thetaを利用}\\
& \small \displaystyle =\cos\left(\pi+\frac{2}{3}\pi\right)\\
& \small \displaystyle =\cos\pi\cos\frac{2}{3}\pi-\sin\pi\sin\frac{2}{3}\pi \quad \color{#ff0055}{*加法定理を利用}\\
& \small \displaystyle =(-1)\cdot\cos\frac{2}{3}\pi-0\cdot\sin\frac{2}{3}\pi\\
& \small \displaystyle =-\cos\frac{2}{3}\pi\\
& \small \displaystyle =-\left(-\frac{1}{2}\right)\\
&\small \displaystyle =\color{red}{\frac{1}{2} \quad \cdots 【答】}\\
\end{split}

【解答】
　\(\small \displaystyle \frac{1}{2}\)

まずはすべての角度が90°未満になるように変換する。

\begin{split}
&\small \displaystyle \sin\frac{9}{13}\pi+\cos\frac{11}{14}\pi+\sin\frac{5}{7}\pi-\sin\frac{4}{13}\pi\\
&\small \displaystyle =\sin\left(\pi-\frac{4}{13}\pi\right)+\cos\left(\pi-\frac{3}{14}\pi\right)+\sin\left(\pi-\frac{2}{7}\pi\right)-\sin\frac{4}{13}\pi\\
&\small \displaystyle =\sin\frac{4}{13}\pi-\cos\frac{3}{14}\pi+\sin\frac{2}{7}\pi-\sin\frac{4}{13}\pi\\
&\small \displaystyle =\sin\frac{2}{7}\pi-\cos\frac{3}{14}\pi\\
\end{split}

この2項は値が求まる三角関数ではないので、うまく変換することで打ち消すことができると予想できる。
sinとcosを打ち消すために、\(\small \displaystyle \frac{\pi}{2}\pm \theta\)の変換公式を用いることで2項をsinに揃えると（cosに揃えてもOK）、

\begin{split}
&\small \displaystyle \sin\frac{2}{7}\pi-\cos\frac{3}{14}\pi\\
&\small \displaystyle =\sin\frac{2}{7}\pi-\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{4}{14}\pi\right)\\
&\small \displaystyle =\sin\frac{2}{7}\pi-\color{#ff0055}{\sin\frac{2}{7}\pi} \quad \color{#ff0055}{*\cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)= \sin\thetaを利用}\\
&\small =\color{red}{0 \quad \cdots【答】}
\end{split}

【解答】
　\(\small 0\)

【補足】
この問題では、「sinとcosを入れ替えるために\(\small \displaystyle \frac{\pi}{2}\pm \theta\)の変換公式を利用する」という発想が求められます。変換公式の暗記は不要ですが、結果はなんとなくでも知っていると式変形で有利になります。

また、三角関数の式の値を求める問題では、角度部分を見たときに有名角にならなさそうな場合は、「打ち消し合ってゼロになるだろう」と予想しながら式変形することも大事です。

まとめ｜変換公式は加法定理で導ける

今回は三角関数の変換公式の意味と証明、覚え方について解説しました。

変換公式は、角度部分が\(\small \alpha\pm\theta\)である三角関数を\(\small \theta\)に変換する公式でした。変換公式を使うことで、一見異なる三角関数を90°未満の角度に揃えることができ、三角関数の式を簡略化することができます。

また、変換公式は暗記ではなく、加法定理から導出できると覚えておきましょう。

今回は以上です。お疲れさまでした！