【数学徹底解説】群数列の基本

　本記事のレベル

・数列を塊に区切ったもの。
・区切り方に規則性がある。

\(\small n\)項分の和を求めるとき、求める和を\(\small S_n\)とすると、
$$S_n=\frac{\{(先頭)+(末尾)\}×n}{2}$$

合計がすべて同じになるのは、等差数列が、一定の間隔で増減しているからで、よく下図のような階段に例えられます。もとの数列を赤とすると、数列の和を求めるというのは、赤色のブロックの個数を求めるということなので、一旦、逆さにした青色の数列を考えて、ブロックの段差をつなぎ合わせ、きれいにデコとボコをはめることで、ブロックの数は、縦12、横6のブロックの個数の半分になるので、簡単に求めることができるのです。

等差数列の第\(\small n\)項目は、初項を\(\small a\)、公差を\(\small d\)とすると
$$a_n=a+(n-1)d$$

奇数の数列を、\(\small 1\space | \space 3,\space 5 \space | \space 7,\space 9,\space 11 \space | \space 13,\space 15, \space 17,\space 19 \space | \space 21,\space \cdots\)のように、第\(\small n\)群が\(\small n\)個の数を含むように分けるとき、
(1) 第\(\small n\)群の総和を求めよ。
(2) 301は第何群の何番目に並ぶ数か。

[昭和薬大　改題]

(1)
今回考える数列は、奇数列なので、2ずつ増加する等差数列になります。なので、第\(\small n \)群の総和は、予備知識で解説した等差数列の和の公式を利用すればよいですね。そのためには、第\(\small n \)群の先頭と末尾を求めておく必要があります。

第n群の項数はn個なので、等差数列の公式にあてはめると、
\begin{split} S_n &=\frac{\{(先頭)+(末尾)\}×n}{2}\space\space\\ &=\frac{(a_f+a_l)×n}{2}\\ \end{split} こんな感じになるので、あとは、先頭\(\small a_f\)と末尾\(\small a_l\)を求めればokですね。 さらに、第\(\small n \)群の先頭を求めるためには、第\(\small n \)群の先頭が、奇数列の第何項目にあたるのかを求めれば、よさそうですね。ひとまず、第\(\small n \)群の先頭を第\(\small f\)項目、末尾を第\(\small l\)項目とおきます。\(\small f\)は、\(\small n-1\)群目までの項数合計の一つ次で、1群目の項数は1項、2群目の項数は2項、\(\small \cdots\)、\(\small n-1\)群目の項数は、\(\small n-1\)であることから、
\begin{split} f &=[1+2+3+ \cdots +(n-1)]+1 \\ &= \frac{\{1+(n-1)\}×(n-1)}{2}+1\\ &=\frac{n(n-1)}{2}+1\\ &=\frac{n^2-n+2}{2} \end{split}

末尾の項数\(\small l\)は、\(\small n\)群目の項数が\(\small n\)項であることから、\(\small f\)に\(\small n-1\)を足せばよいので（nを足すではないので注意。項数がn個あるということは、間は、n-1個になる）、 \begin{split} l&=f+(n-1)\\ &=\frac{n^2-n+2}{2}+(n-1)\\ &=\frac{n^2+n}{2} \end{split} 奇数列の第\(\small m\)項目は、\(\small a_m=2m-1\)とあらわせるので、第\(\small f\)項目と、\(\small l\)項目は、 \begin{split} a_f &=2f-1\\ &=2×\frac{n^2-n+2}{2}-1\\ &=n^2-n+1 \end{split} \begin{split} a_l &=2l-1\\ &=2×\frac{n^2+n}{2}-1\\ &=n^2+n-1 \end{split} よって、求める第\(\small n\)群の総和を\(\small S_n\)とすると、 \begin{split} S_n &=\frac{\{a_f+a_l\}×n}{2}\\ &=\frac{[(n^2-n+1)+(n^2+n-1)]×n}{2}\\ &=\frac{2n^3}{2}\\ &=n^3 \end{split} と求められる。検算として、n=3の場合、第3群の総和は、\(\small 7+9+11=27=3^3\)であり、一致している。
(解答)　第\(\small n\)群の総和は、\(\small n^3\)。

(2)
第\(\small m\)群に含まれるとする。第何群に含まれるか知りたい場合は、目印として群の先頭の数をまずは把握しましょう。
第\(\small m\)群の先頭は、(1)の\(\small a_f\)の結果から、 $$a_f=m^2-m+1$$ これが301を超えないmが見つかれば、そこが301が属する群になります。あとは頑張って当てはまるmを探せばよいのですが、少し見つけにくいので、\(\small m^2-m+1=m(m-1)+1\)と式変形してあげると、大体\(\small m(m-1)≒m^2\)で探してあげればよさそうです。\(\small 17^2=289,18^2=324\)なので、例えば\(\small m=17\)で\(\small m^2-m+1\)に代入してあげると、273（第17群目の先頭）、\(\small m=18\)だと、307(第18群目の先頭)で、301を超えました。つまり、第17群目のどこかに301がいるとわかります。ここからは、求め方は、いろいろあるので、お任せですが、例えば、私だったら、307が近いので後ろから攻めます。301は奇数列では、307の3つ前です。第17群は17個の奇数が並んでいるので、その後ろから3番目ということは、前から数えると、15番目になります。 なので、第17群、15番目と分かります。

もう少し、数学的にかっちり解きたければ、第17群を、初項273、公差2の等差数列として、 \begin{split} & a_n =273+2(n-1)\\ \Leftrightarrow \space & 301 = 2n+271\\ \end{split} を解けばよく、 $$2n+271=301$$ $$2n=30$$ $$n=15$$ と求まります。
(解答)　第17群、15番目。

まとめ