三角関数の等式証明と式の値｜例題で理解する解き方のコツ

今回は三角関数の相互関係を用いた等式証明と式の値の問題について、解き方のコツを解説します。

三角関数の等式証明と式の値を求める問題

三角関数の等式証明

解答・解説

解答・解説

解答・解説

三角関数の式の値

解答・解説

解答・解説

解答・解説

三角関数の等式証明｜問題解説と解き方のコツ

等式証明｜問題の考え方と解き方のコツ

三角関数の相互関係の覚え方と公式が成り立つ理由については、
sinθ・cosθ・tanθの関係式（三角関数の相互関係）をわかりやすく解説｜単位円による証明と値の求め方
の記事で解説してます。

【問題1】等式証明①

\begin{split}
\small （左辺） &\small \displaystyle= \frac{\cos\theta(1-\sin\theta)+\cos\theta(1+\sin\theta)}{(1+\sin\theta)(1-\sin\theta)}\\
&\small \displaystyle= \frac{\cos\theta(1-\sin\theta+1+\sin\theta)}{1-\sin^2\theta}\\
&\small \displaystyle= \frac{2\cos\theta}{\color{#ef5350}{\cos^2\theta}} \space \color{#ef5350}{◀\sin^2\theta+\cos^2\theta=1}\\
&\small \displaystyle= \frac{2}{\cos\theta}\\
&\small \displaystyle= （右辺）\\
\end{split}

よって、（左辺）＝（右辺）が示せた。（証明終）

【問題2】等式証明②

\begin{split}
\small （左辺） &\small \displaystyle= \tan\theta+\frac{1}{\tan\theta}\\
&\small \displaystyle= \frac{\tan^2 \theta+1}{\tan\theta}\\
&\small \displaystyle= \frac{\color{#ef5350}{\dfrac{1}{\cos^2\theta}}}{\tan\theta} \quad \color{#ef5350}{◀1+\tan^2\theta=\frac{1}{\cos^2 \theta}}\\
&\small \displaystyle= \frac{1}{\tan\theta \cos^2 \theta}\\
&\small \displaystyle= \frac{1}{\color{#ef5350}{\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}}\cos^2 \theta} \quad \color{#ef5350}{◀\tan \theta=\frac{\sin\theta}{\cos \theta}}\\
&\small \displaystyle= \frac{1}{\sin\theta \cos\theta}\\
&\small \displaystyle= （右辺）\\
\end{split}

よって、（左辺）＝（右辺）が示せた。（証明終）

【問題3】等式証明③

\begin{split}
\small （左辺） &\small \displaystyle= (\cos^2\theta-\sin^2\theta)(\cos^2\theta+\sin^2\theta)+1 \quad [*1]\\
&\small \displaystyle= (\cos^2\theta-\sin^2\theta)\cdot \color{#ef5350}1+1 \quad \color{#ef5350}{◀\sin^2\theta+\cos^2\theta=1}\\
&\small \displaystyle= \cos^2\theta-\color{#ef5350}{(1-\cos^2\theta)}+1 \quad \color{#ef5350}{◀\sin^2\theta=1-\cos^2\theta}\\
&\small \displaystyle= \cos^2\theta-1+\cos^2\theta+1\\
&\small \displaystyle= 2\cos^2\theta\\
&\small \displaystyle= （右辺）\\
\end{split}

よって、（左辺）＝（右辺）が示せた。（証明終）

＊１：補足
\(\small x^4-y^4=(x^2)^2-(y^2)^2=(x^2-y^2)(x^2+y^2)\)の因数分解を利用して式変形した。

三角関数の式の値｜問題解説と解き方のコツ

式の値｜問題の考え方と解き方のコツ

💡裏ワザ
三角関数sinθ、cosθ、tanθを含むの式を式変形していくと定数になるということは、裏を返せば\(\small \theta\)の値に関係なく成り立つ恒等式ということ。
そのため、\(\small \theta=0\)などの計算しやすい具体的な値を代入してあげることで、値だけであれば即座に求めることができる。
検算やマーク式の試験で役立つので知っておくとよいだろう。

【問題1】式の値①

\begin{split}
\small （与式） &\small \displaystyle=\cos^2\theta+\sin\theta-\frac{\sin\theta}{\cos\theta}(1-\sin\theta)\cos\theta\\
&\small \displaystyle=\cos^2\theta+\sin\theta-\sin\theta(1-\sin\theta)\\
&\small \displaystyle=\cos^2\theta+\sin\theta-\sin\theta+\sin^2 \theta\\
&\small \displaystyle=\cos^2\theta+\sin^2 \theta\\
&\small \displaystyle=\color{red}{1 \quad \cdots 【答】}\\
\end{split}

【補足】
\(\small \theta=0\)を代入してみると、
（与式）\(\small =1^2+0-0=1\)となり、簡単に検算できる。

【問題2】式の値②

\begin{split}
\small （与式） &\small \displaystyle=\tan^2\theta+(1+\tan^2\theta)(1-\tan^2\theta)\cos^2\theta\\
&\small \displaystyle=\tan^2\theta+\frac{1}{\cos^2\theta}(1-\tan^2\theta)\cos^2\theta\\
&\small \displaystyle=\tan^2\theta+1-\tan^2\theta\\
&\small \displaystyle=\color{red}{1 \quad \cdots 【答】}\\
\end{split}

【補足】
\(\small \displaystyle \tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\)を用いて\(\small \tan\theta\)を消したくなるが、最終的に\(\small \tan\theta\)がきれいに消えることを考慮すると、この式変形をしても式がきれいにはならないので、第2項目の整理から着手する方針で考えるとうまく消えることが見えてくる。

【問題3】式の値③

\begin{split}
\small （与式） &\small \displaystyle=\frac{\sin^4\theta-\cos^4\theta+4\cos^2\theta+1}{3(1+\cos^2\theta)}\\
&\small \displaystyle=\frac{(\sin^2\theta-\cos^2\theta)\color{#ef5350}{(\sin^2\theta+\cos^2\theta)}+4\cos^2\theta+1}{3(1+\cos^2\theta)}\\
&\small \displaystyle=\frac{(\color{#5c6bc0}{\sin^2\theta}-\cos^2\theta)\cdot \color{#ef5350}{1}+4\cos^2\theta+1}{3(1+\cos^2\theta)}\\
&\small \displaystyle=\frac{\color{#5c6bc0}{(1-\cos^2\theta)}-\cos^2\theta+4\cos^2\theta+1}{3(1+\cos^2\theta)}\\
&\small \displaystyle=\frac{2+2\cos^2\theta}{3(1+\cos^2\theta)}\\
&\small \displaystyle=\frac{2(1+\cos^2\theta)}{3(1+\cos^2\theta)}\\
&\small \displaystyle=\color{red}{\frac{2}{3} \quad \cdots 【答】}\\
\end{split}

【補足】
\(\small \sin^4\theta\)と\(\small \cos^4\theta\)の4乗があると計算しにくいので、\(\small x^2-y^2=(x+y)(x-y)\)の因数分解を利用して次数下げする方針で考えると、きれいに式変形できる。

本記事のまとめ

今回は三角関数を含む等式証明と式の値を求める問題の考え方、解き方について解説しました。

今回の応用編として、sinθとcosθの和（\(\small \sin\theta+\cos\theta=a\)）や積（\(\small \sin\theta\cos\theta =a\)）が与えられた場合の式の値を求める問題や対称式を用いて式の値を求める問題については、こちらの記事で解説しています。

今回は以上です。お疲れさまでした！