2直線のなす角の求め方｜tanθの加法定理・ベクトルを利用した解き方を分かりやすく解説

今回は2直線のなす角を求める問題について、解き方・考え方を解説します。

特に、

✓ 角度を足し算するのか引き算するのか分からない…
✓ tanθの加法定理を使った解き方・考え方が知りたい
✓ ベクトルを使った解き方もあるみたいだけど詳しく教えて！

という人向けに、それぞれの疑問についてわかりやすく解説していきたいと思います。

ぺんきち

数学教育アドバイザー

参考書よりも分かりやすい解説を目指した高校数学のブログ記事です。苦手意識を「おもしろい」に変えるきっかけとなれば嬉しいです！
高校数学の勉強のコツ、日常生活に潜む数学をゆる～く解説した
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ぺんきち｜高校数学の図解ノート

実績元塾講師歴（6年）

資格中学・高校教員免許保持
数学 / 理科（物理・化学・生物・地学）

出身千葉県

趣味

#ボルダリング #らーめん巡り

本記事で扱う問題｜2直線のなす角
問題の解説と解き方のコツ
本記事のまとめ

本記事で扱う問題｜2直線のなす角

【問題1】基礎問題

難易度：★★☆☆

$\small \displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{2} $とするとき、次の2直線のなす角 $\small \theta$を求めよ。
（1）$\small 3x-y+2=0, \space x-2y+3=0$
（2）$\small 3x-2y+2=0, \space 5x+y-1=0$
（3）$\small y=-x, \space y=(2+\sqrt{3})x$ [（1）東海大類]

【解答・解説はこちら】
・解答＆解説（１）
・解答＆解説（2）（3）

【問題2】応用問題

難易度：★★★☆

直線 $\small x-y+1=0$と $\small \displaystyle \frac{\pi}{3}$の角をなす直線の傾きを求めよ。

【解答・解説はこちら】
・解答＆解説

【問題3】応用問題

難易度：★★★★

3点 $\small \mathrm{A}(1+2\sqrt{2},-2+\sqrt{2})$, $\small \mathrm{B}(1,-2)$, $\small \mathrm{C}(1-\sqrt{2},-2+\sqrt{2})$があるとき、$\small \tan \angle \mathrm{ABC}$を求めよ。

【解答・解説はこちら】
・解答＆解説
・ベクトルを利用した別解

【問題4】なす角が特殊な問題

難易度：★★☆☆

2直線 $\small 2x-y+m=0$, $\small x+2y+n=0$のなす角$\small \theta$を求めよ。ただし、$\small m, \space n$は実数とする。

【解答・解説はこちら】
・解答＆解説

問題の解説と解き方のコツ

【問題1（1）】例題｜2直線のなす角の求め方を確認しよう

まずは、解き方の流れと考え方のコツを例題を通して解説します。

【問題1（1）】基礎問題

難易度：★★☆☆

$\small \displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{2} $とするとき、次の2直線のなす角 $\small \theta$を求めよ。
（1）$\small 3x-y+2=0, \space x-2y+3=0$
[（1）東海大類]

解き方のポイント

2直線のなす角を求めるのが苦手な人は
まずは問題を解くときの着眼点と解き方の流れの全体像を把握しておきましょう。

解法のPoint

・2直線のなす角を求める問題は、
　なす角を正確に図示することが重要です。
　そのためには、2直線の傾きに着目してなす角を図示します。
・なす角のtan（正接）の値を求めれば角度が分かる
　という思考で解いていきます。
・詳しい解法の流れは以下参照。

●解法の流れ
2直線を傾きに注意して図示することで
なす角の位置関係を把握
↓
求める角を『直線と水平方向とのなす角』で表す
↓
傾き＝tan（正接）を利用して
2直線のtan（正接）を求める
↓
tan（正接）の加法定理を利用して
なす角のtan（正接）を求める
↓
tan（正接）の値からなす角を求める

求める角はどこ？図の書き方を解説

では、問題1（1）を解説していきます。

まずは、2直線がなす角を図示していきます。

2直線の傾きを求めるとそれぞれ、3と$\small \displaystyle \frac{1}{2}$になるので、
なす角は以下のように図示できます。

傾きの大小関係に注意して図示しましょう。
（大小が逆転してしまうと求める角も正しく計算できません）
傾きが大きいほど、急になります。

【補足】
傾きを求めるときは、「$\small y=\cdots$」の形に直したときの
$\small x$の係数だけ求めると計算量を減らせます。

なす角をα、βで表そう

次に、求める角θを2直線の水平方向との角度を使って表します。

上図のように傾き $\small \displaystyle \frac{1}{2}$の直線が水平方向となす角度を$\small \alpha$、
傾き3の直線が水平方向となす角度を$\small \beta$とすると、

$$\small \theta = \beta-\alpha \quad \cdots ①$$

となります。

tanθが出てくるのはなぜ？傾きとtanθの関係性

ここで、直線の傾きと$\small \tan\theta$の関係について解説します。
そんなの知ってるよ！という人はこの章は読み飛ばしちゃってくださいm(__)m

直線の傾きは、

$$\small \displaystyle （傾き）= \frac{yの増加量 \quad}{xの増加量 \quad }$$

でした。図にすると

です。

この図の赤枠の直角三角形と傾きの式をよく見比べると、

$$\small \displaystyle （傾き）= \frac{yの増加量 \quad}{xの増加量 \quad }= \color{#ef5350}{\tan\theta}$$

となることが分かります！

というわけで、傾きが$\small \tan\theta$になることがわかりました。

【補足】
ここで1点だけ注意点を補足しておくと、
角度$\small \theta $は「$\small x$軸（水平方向）と直線の角」になります。
図を見れば当たり前ですが、意外と問題になると忘れがちなので、改めて押さえておきましょう。

2直線の傾きをtan（正接）で表そう

$\small \alpha , \space \beta$も水平方向と直線がなす角なので、
「傾き＝tan（正接）」の関係式が使えます。

よって、
\begin{split}
& \small \displaystyle \tan \alpha = \frac{1}{2}\\
& \small \tan \beta = 3\\
\end{split}
となります。

（一応、図示もして確認するとよいでしょう）

加法定理を使ったtanθの求め方

$\small \tan\alpha$や$\small \tan\beta$が角度を知っている値になっていれば
直接 $\small \alpha, \space \beta$の角を求めて$\small \theta$を求められるのですが
ほとんどの問題では$\small \tan\alpha$や$\small \tan\beta$が知っている値になることはありません…。

ですが、角度は直接分からなくても、tan（正接）の値なら計算することができます。
$\small \tan \theta$が求まればなす角が求まるので、$\small \tan \theta$を計算していきましょう。

①で$\small \theta=\beta-\alpha$だったので、

$$\small \tan\theta = \color{#ef5350}{\tan(\beta-\alpha)}$$

となります。

この形は…　
tan（正接）の加法定理が使えそうです。

✓ tan（正接）の加法定理

$\small \displaystyle \tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$

$\small \displaystyle \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}$

忘れがちだけど覚えてる？…
※ちなみに忘れちゃってもsin、cosの加法定理から簡単に導けるよ

加法定理を使って計算すると

\begin{split}
\small \tan (\beta-\alpha) & \small \displaystyle = \frac{\tan\beta-\tan\alpha}{1+\tan\beta\tan\alpha}\\
& \small \displaystyle = \frac{3-\dfrac{1}{2}}{1+3\cdot\dfrac{1}{2}}\\
& \small \displaystyle = \frac{6-1}{2+3}\\
& \small \displaystyle = 1\\
\end{split}

というわけで、$\small \tan\theta = \tan (\beta-\alpha)=1$と求まりました。

最後に$\small \displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{2}$（つまり、$\small \theta$が鋭角ってこと）を満たす範囲で
$\small \tan\theta =1$となる$\small \theta $を求めると、$\small \displaystyle \theta = \frac{\pi}{4} \space \cdots$【答】となります。

【解答】
　$\small \displaystyle \frac{\pi}{4}$（または45°）

【問題1】基礎問題｜2直線のなす角を求める

【問題1】基礎問題

難易度：★★☆☆

$\small \displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{2} $とするとき、次の2直線のなす角 $\small \theta$を求めよ。
（2）$\small 3x-2y+2=0, \space 5x+y-1=0$
（3）$\small y=-x, \space y=(2+\sqrt{3})x$

　解説（2）

$\small 3x-2y+2=0$を直線 $\small \ell$、$\small 5x+y-1=0$を直線$\small m$とする。
また、水平方向と直線$\small \ell$がなす角を$\small \alpha$、水平方向と直線$\small m$がなす角を$\small \beta$とする。

2直線の傾きが、直線$\small \ell$が$\small \displaystyle \frac{3}{2}$、直線$\small m$が$\small -5$であることから、$\small \alpha, \space \beta$は下図のような位置関係にある。

また、

\begin{split}
& \small \displaystyle \tan \alpha = \frac{3}{2}\\
& \small \displaystyle \tan \beta = -5\\
\end{split}

よって、求める角$\small \theta$の正接 $\small \tan\theta$の値は

\begin{split}
\small |\tan\theta| &\small \displaystyle = \left| \tan(\beta- \alpha)\right| \quad \cdots [*1]\\
&\small \displaystyle = \left| \frac{\tan\beta-\tan\alpha}{1+\tan\beta\tan\alpha}\right|\\
&\small \displaystyle = \left| \frac{-5-\dfrac{3}{2}}{1+(-5)\cdot \dfrac{3}{2}}\right|\\
&\small \displaystyle = \left| \frac{-10-3}{2-15}\right|\\
&\small \displaystyle = 1\\
\small ∴ \space &\small \displaystyle |\tan\theta|= 1\\
\end{split}

*1：補足
本問のように傾きが正の直線と負の直線のなす角を求める場合、
図示しただけではなす角がどちらか判別が難しい場合があります。

このような場合は、なす角が鋭角か鈍角かで変わるのはtan（正接）の符号だけであり、鋭角の場合、tan（正接）は正になることから$\small \tan(\beta-\alpha)$の絶対値を計算しておけばよいでしょう。

＊＊＊
例えば、$\small \theta_2$が鋭角だった場合、求めるべきは$\small \tan \theta_2$になりますが、
\begin{split}
\small \tan \theta_2 & \small =\tan (\pi-\theta_1)\\
& \small =- \tan \theta_1\\
& \small =- \tan (\beta-\alpha)\\
\end{split}
となるので、$\small \tan(\beta-\alpha)$を求めておき、
符号をプラス（つまり$\small \tan(\beta-\alpha)$の絶対値）にすれば求めたいtan（正接）の値になります。

よって、$\small \displaystyle \color{red}{\theta = \frac{\pi}{4} \space \cdots【答】}$

【解答】
　$\small \displaystyle \theta =\frac{\pi}{4}$

　解説（3）

$\small y=-x$を直線 $\small \ell$、$\small y=(2+\sqrt{3})x$を直線$\small m$とする。
また、水平方向と直線$\small \ell$がなす角を$\small \beta$、水平方向と直線$\small m$がなす角を$\small \alpha$とする。

図より、

\begin{split}
& \small \displaystyle \tan \alpha = 2+\sqrt{3}\\
& \small \displaystyle \tan \beta = -1\\
\end{split}

より、

\begin{split}
\small |\tan\theta| &\small \displaystyle = \left| \tan(\beta- \alpha)\right|\\
&\small \displaystyle = \left| \frac{\tan\beta-\tan\alpha}{1+\tan\beta\tan\alpha}\right|\\
&\small \displaystyle = \left| \frac{-1-(2+\sqrt{3})}{1+(-1)\cdot(2+\sqrt{3})}\right|\\
&\small \displaystyle = \left| \frac{-3-\sqrt{3}}{-1-\sqrt{3}}\right|\\
&\small \displaystyle = \left| \frac{\sqrt{3}(-\sqrt{3}-1)}{-1-\sqrt{3}}\right|\\
&\small \displaystyle = \sqrt{3}\\
\end{split}

よって、

\begin{split}
&\small \displaystyle |\tan\theta|= \sqrt{3}\\
&\small \displaystyle ∴ \space \color{red}{\theta= \frac{\pi}{3} \space \cdots 【答】}\\
\end{split}

【解答】
　$\small \displaystyle \theta =\frac{\pi}{3}$

OnePoint

$\small \tan\theta$の途中式はルートが出てきてややこしいですが、
最終的にはきれいな形になることを目論みながら式変形していきましょう。
解答のような式変形が思いつかなくても、有理化で分母のルートを消す方法で解くことができます。

【問題2】応用問題｜θの角をなす直線の傾き

【問題2】応用問題

難易度：★★★☆

直線 $\small x-y+1=0$と $\small \displaystyle \frac{\pi}{3}$の角をなす直線の傾きを求めよ。

解法のPoint

・問題1では2直線の傾きからなす角を求めましたが、
　問題2では直線となす角から傾きを求める問題です。
・直線とのなす角が$\small \theta$の直線は2つある点に注意！(意外と忘れがち…)
・求める直線と水平方向との角の$\small \tan$（正接）＝傾きの関係を利用します。

　解説

直線 $\small x-y+1=0$は傾きが1の直線であることから、水平方向と直線のなす角は $\small \displaystyle \frac{\pi}{4}$。

【補足】
傾き1の直線と水平方向とのなす角と言われたら$\small \displaystyle \frac{\pi}{4}$（45°）と
即答できるようにしておくと便利です（座標平面の図形問題でよく出ます）。

よって、求める直線と水平方向のなす角は

$$\small \theta_1 = \frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3} \quad \mathrm{or} \quad \theta_2 = \frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{3} $$

であることが確定する。

なす角が$\small \theta_1$の場合の直線を$\small \ell$、$\small \theta_2$の場合の直線を$\small m$とする。

● 直線 $\small \ell$の傾きを求める

傾き = $\small \tan \theta_1$なので

\begin{split}
\small \tan\theta_1 &\small \displaystyle = \tan\left(\frac{\pi}{4}+ \frac{\pi}{3}\right)\\
&\small \displaystyle =\frac{\tan\dfrac{\pi}{4}+\tan\dfrac{\pi}{3}}{1-\tan \dfrac{\pi}{4}\cdot\tan \dfrac{\pi}{3}}\\
&\small \displaystyle =\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}} \quad \color{#ef5350}{◀\tan\frac{\pi}{4}=1, \space \tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}}\\
&\small \displaystyle =\frac{(1+\sqrt{3})^2}{-2} \quad \color{#ef5350}{◀有理化}\\
&\small \displaystyle =\frac{4+2\sqrt{3}}{-2}\\
&\small \displaystyle =\color{red}{-2-\sqrt{3} \quad \cdots 【答】}\\
\end{split}

● 直線 $\small m$の傾きを求める

同様に、傾き = $\small \tan \theta_2$なので

\begin{split}
\small \tan\theta_2 &\small \displaystyle = \tan\left(\frac{\pi}{4}- \frac{\pi}{3}\right)\\
&\small \displaystyle =\frac{\tan\dfrac{\pi}{4}-\tan\dfrac{\pi}{3}}{1+\tan \dfrac{\pi}{4}\cdot\tan \dfrac{\pi}{3}}\\
&\small \displaystyle =\frac{1-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}} \\
&\small \displaystyle =\frac{(1-\sqrt{3})^2}{-2}\\
&\small \displaystyle =\frac{4-2\sqrt{3}}{-2}\\
&\small \displaystyle =\color{red}{-2+\sqrt{3} \quad \cdots 【答】}\\
\end{split}

【解答】
　$\small -2 \pm \sqrt{3}$

【問題3】応用問題｜3点のなす角

【問題3】応用問題

難易度：★★★★

3点 $\small \mathrm{A}(1+2\sqrt{2},-2+\sqrt{2})$, $\small \mathrm{B}(1,-2)$, $\small \mathrm{C}(1-\sqrt{2},-2+\sqrt{2})$があるとき、$\small \tan \angle \mathrm{ABC}$を求めよ。

解法のPoint

・$\small \angle\mathrm{ABC}$を、2直線$\small \mathrm{AB}$と$\small \mathrm{BC}$のなす角と捉えれば問題1と同様の考え方で解くことができる。
・2直線の傾きの大小関係が逆転してしまうと答えの符号も逆転する。
　そのため、3点の座標は正確に図示することが重要。

　解説

3点の座標を図示すると下図のようになることから、
$\small \angle \mathrm{ABC}$は直線$\small \mathrm{AB}$と直線$\small \mathrm{BC}$のなす角と見なすことができる。

直線$\small \mathrm{AB}$、直線$\small \mathrm{BC}$が水平方向となす角をそれぞれ$\small \alpha, \space \beta$とおくと、直線$\small \mathrm{AB}$と直線$\small \mathrm{BC}$の傾きから

\begin{split}
&\small \displaystyle \tan \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\\
&\small \displaystyle \tan \beta = \frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=-1\\
\end{split}

よって、

\begin{split}
\small \tan\angle\mathrm{ABC} &\small \displaystyle = \tan(\beta-\alpha)\\
&\small \displaystyle = \frac{\tan\beta-\tan\alpha}{1+\tan\beta\tan\alpha}\\
&\small \displaystyle = \frac{(-1)-\left(\dfrac{1}{2}\right)}{1+(-1)\cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)}\\
&\small \displaystyle = \frac{-\dfrac{3}{2}}{\dfrac{1}{2}}\\
&\small \displaystyle = \color{red}{-3 \quad \cdots 【答】}\\
\end{split}

【解答】
　$\small -3$

【問題3_別解】ベクトルを利用したなす角の求め方

なす角を求める問題は、これまで解説したようにtan（正接）の加法定理を使って求めるのが王道ですが、既習であれば、ベクトルを使って求めることもできます。

ここでは、問題3を例にベクトルを使ってなす角を求める方法や
加法定理とどちらを使うのがおすすめかについて解説します。
また、問題1についても同様に求めることができます。

注意

ベクトルを学習している前提で解説するので、まだ習ってない人は読み飛ばしてねm(__)m

ベクトルを用いたなす角の解き方・考え方

傾きからベクトルの成分を求める

まずは、なす角を作っている2つの直線をベクトルで表します。
直線の傾きが分かっていれば、ベクトルを簡単に求めることができます。

座標平面上のベクトルを$\small (a_x,b_y)$のように成分表示した場合、
$\small a_x$が$\small x$軸方向に進んだ距離、$\small b_y$が$\small y$軸方向に進んだ距離になります。

この考え方を応用すると、直線 $\small \mathrm{AB}$の傾きは$\small \displaystyle \frac{1}{2}$なので、
$\small x$軸方向に$\small 2$、$\small y$軸方向に$\small 1$進んだベクトル $\small (2,1)$と表すことができます。

同様に直線 $\small \mathrm{BC}$についても考えると、傾きが$\small -1$なので、ベクトルは$\small (-1,1)$となります。

【補足】
$\small \overrightarrow{\mathrm{AB}}$, $\small \overrightarrow{\mathrm{BC}}$を考えてもよいが成分にルートが含まれて計算が煩雑になる。2つのベクトルのなす角を求めるだけであれば、ベクトルの大きさは関係ないので、傾きに着目してベクトルの成分を考えると計算量を減らせる。

内積の公式を使ってベクトルのなす角を求める

2つのベクトルの内積の公式から、なす角の$\small \cos$（余弦）を求めることができます。

✓ 内積の公式
2つのベクトルを $\small \vec{a}=(x_1,y_1), \space \vec{b}=(x_2,y_2)$、なす角を$\small \theta$とするとき、その内積は
\begin{split}
\small \vec{a}\cdot \vec{b} &\small =|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\\
\small \Leftrightarrow \space x_1x_2+y_1y_2 &\small = \sqrt{(x_1)^2+(y_1)^2}\sqrt{(x_2)^2+(y_2)^2}\cos\theta\\
\end{split}

今回であれば、$\small (2,1)$, $\small (-1,1)$を内積の公式にあてはめることで

\begin{split}
\small 2\cdot (-1)+1\cdot 1 &\small = \sqrt{5}\cdot \sqrt{2} \cos\theta\\
\small \Leftrightarrow \space \sqrt{10}\cos\theta &\small =-1\\
\small \Leftrightarrow \space \cos\theta &\small =-\frac{1}{\sqrt{10}}\\
\end{split}

よって、$\small 0 < \theta <\pi$であることから、

\begin{split}
\small \displaystyle \tan\theta=-3\\
\end{split}

と求めることができます。

なす角は加法定理とベクトルのどちらで解く？おすすめの解き方

2直線のなす角を求める問題であれば、tan（正接）の加法定理を使った解き方がおすすめです。

理由としては、ベクトルの内積を利用する場合、一度$\small \cos$（余弦）を求めてから$\small \tan$（正接）に変換する手間がかかるからです。

なので、余裕があれば解き方・考え方として理解はしつつ、加法定理を使って解くでよいと思います。

【問題4】2直線のなす角が特殊な問題

【問題4】なす角が特殊な問題

難易度：★★☆☆

2直線 $\small 2x-y+m=0$, $\small x+2y+n=0$のなす角$\small \theta$を求めよ。ただし、$\small m, \space n$は実数とする。

解法のPoint

・傾きの積が$\small -1$となる場合、2直線のなす角は90°になる。
　これを数学用語で「直交」という。
・2直線のなす角を求める問題では傾きが重要であり、切片の値に依らない。
　そのため、実数 $\small m, \space n$の値は気にしなくてOK。

　解説

2直線の傾きをそれぞれ求めると、$\small 2$、$\small \displaystyle -\frac{1}{2}$であり、傾きの積が

$$\small \displaystyle 2 \times \left( -\frac{1}{2}\right) =-1$$

となることから、2直線は直交する。

よって、なす角は90° …【答】

【解答】
　90°　$\small \displaystyle \left(\space \frac{\pi}{2} \space \right)$

【研究】tan（正接）の加法定理を使って解こうとするとどうなる？
直線 $\small 2x-y+m=0$が水平方向となす角を$\small \alpha$、
直線 $\small x+2y+n=0$が水平方向となす角を$\small \beta$とすると

\begin{split}
&\small \displaystyle \tan\alpha = 2\\
&\small \displaystyle \tan\beta = -\frac{1}{2}\\
\end{split}
より、2直線のなす角の正接 $\small \tan \theta$を計算すると
\begin{split}
\small |\tan\theta| &\small = |\tan(\beta -\alpha)|\\
&\small \displaystyle = \left|\frac{\tan\beta-\tan\alpha}{1+\tan\beta\tan\alpha}\right|\\
&\small \displaystyle = \left|\frac{\left(-\dfrac{1}{2}\right)-2}{1+\left(-\dfrac{1}{2}\right)\cdot 2}\right|\\
&\small \displaystyle = \left|\frac{-\dfrac{5}{2}}{\color{red}0}\right| \quad \color{red}{◀分母がゼロになってしまう…}\\
\end{split}
このように、2直線が直交する場合は、加法定理の分母が0になることを知っておこう。
※$\small \tan90°$の値は定義できないからね…