今回は加法定理を利用して式の値を求める問題について解説していきます。
こんな人におすすめ
✓ 加法定理を利用した「式の値」の問題をマスターしたい人
✓ 加法定理の使い方と考え方を基礎から学びたい人
✓ 共通テスト・国公立・私立大学入試対策をしたい人
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加法定理を利用した式の値を求める問題
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加法定理を使った式の値の求め方・解き方のコツをわかりやすく解説
【問題1】加法定理を利用した式の値①
・三角関数の値は角度の範囲に注意しよう
・加法定理に代入して値を求める
加法定理より
$$\small \sin(\alpha-\beta)= \sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$$
右辺を見ると、\(\small \sin\alpha\), \(\small \cos\beta\)の値が分かれば、式の値を求めることができることが分かるだろう。
\(\small \sin\alpha\)の値
\(\small \displaystyle 0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\)は、\(\small xy\)平面上の右上の区画になるので
単位円から\(\small \sin \alpha\)の値は
$$\small \displaystyle \sin\alpha =\frac{4}{5}$$
と求められる。
\(\small \cos\beta\)の値
\(\small \displaystyle \frac{\pi}{2}< \beta < \pi\)は、\(\small xy\)平面上の左上の区画になるので
単位円から\(\small \cos \beta\)の値は
$$\small \displaystyle \cos\beta =-\frac{8}{17}$$
（cosの値はx座標なので負になることに注意！）
と求められる。
詳しくは、こちらの記事で解説してます！
sinθ・cosθ・tanθの関係式｜単位円による証明と三角関数の求め方【三角関数の相互関係】
よって、求めた値を加法定理に代入することで
\begin{split}
\small \sin(\alpha-\beta) &\small = \sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\\
&\small = \frac{4}{5}\cdot \left(-\frac{8}{17}\right)-\frac{3}{5}\cdot \frac{15}{17}\\
&\small = \frac{-32-45}{85}\\
&\small \displaystyle = \color{red}{-\frac{77}{85}\quad \cdots 【答】}\\
\end{split}
【解答】
\(\small \displaystyle -\frac{77}{85}\)
【問題2】加法定理を利用した式の値②
加法定理を用いて計算すると
\begin{split}
&\small \displaystyle 4\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)\color{#ff0055}{\cos\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6}\right)}\\
\small = &\small \displaystyle 4\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)\left(\color{#ff0055}{\cos\frac{\pi}{4}\cos \frac{\pi}{6}-\sin\frac{\pi}{4}\sin \frac{\pi}{6}}\right)\\
\small = &\small \displaystyle 4\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{1}{2}\right)\\
\small = &\small \displaystyle 4\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)\cdot \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}\\
\small = &\small 2(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)\\
\small = &\small \color{red}{4 \space \cdots 【答】}\\
\end{split}
【解答】
\(\small 4\)
【問題3】加法定理を利用して角の値を求める
角度が問われているということは、
\(\small \tan(\alpha+\beta)\)は有名角の値になることが推測できる。
・\(\small \alpha+\beta\)を求めるときは、角度の範囲と\(\small \tan(\alpha+\beta)\)の符号に注意！
加法定理から
\begin{split}
\small \tan(\alpha+\beta) &\small \displaystyle =\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\\
&\small \displaystyle =\frac{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}}{1-\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{3}}\\
&\small \displaystyle =\frac{3+2}{6-1} \space ◀分母分子を6倍した\\
&\small \displaystyle =\color{red}{1 \space \cdots 【答】}\\
\end{split}
\(\small \alpha, \space \beta\)は鋭角であることから、\(\small \displaystyle 0 < \alpha <\frac{\pi}{2}\), \(\small \displaystyle 0 < \beta<\frac{\pi}{2}\)より
\begin{split}
&\small \displaystyle 0 < \alpha + \beta < \frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\\
\small \Leftrightarrow \space &\small 0 < \alpha + \beta < \pi\\
\end{split}
なので、この範囲で\(\small \tan(\alpha+\beta)=1\)となるのは、\(\small \displaystyle \color{red}{\alpha +\beta = \frac{\pi}{4} \space \cdots 【答】}\)である。
【補足】
\(\small \tan(\alpha+\beta)\)が正（プラス）の値になるのは第1象限（右上）と第3象限（左下）です。
そのうち、角度が\(\small 0 < \alpha + \beta < \pi\)となるのは\(\small x\)軸より上側です。
よって、この両方の条件を満たす範囲は第1象限しかないので、角度を1つに特定することができます。
【解答】
\(\small \tan(\alpha+\beta)=1\), \(\small \displaystyle \alpha + \beta = \frac{\pi}{4}\)
【問題4】応用問題｜加法定理を利用した式の値
sin・cosの関係式を利用すれば…
\begin{split}
&\small \displaystyle (\sin\alpha +\sin\beta)^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2\\
\small \Leftrightarrow \space &\small \sin^2\alpha+2\sin\alpha \sin\beta+\sin^2 \beta= \frac{9}{4} \space \cdots ①\\
\end{split}
\begin{split}
&\small \displaystyle (\cos\alpha +\cos\beta)^2 = \left(\frac{1}{4}\right)^2\\
\small \Leftrightarrow \space &\small \cos^2\alpha +2\cos\alpha \cos\beta+ \cos^2 \beta= \frac{1}{16}\space \cdots ②\\
\end{split}
①＋②より
\begin{split}
&\small \displaystyle (\color{#ff0055}{\sin^2\alpha}+2\sin\alpha \sin\beta+\color{blue}{\sin^2 \beta})\\
&\small \displaystyle +(\color{#ff0055}{\cos^2\alpha} +2\cos\alpha \cos\beta+\color{blue}{\cos^2 \beta})= \frac{9}{4}+\frac{1}{16}\\
\small \Leftrightarrow \space &\small \color{#ff0055}1+\color{blue}1+2(\cos\alpha \cos\beta+\sin\alpha \sin\beta)=\frac{37}{16}\\
\small \Leftrightarrow \space &\small 2+2\cos(\alpha-\beta)=\frac{37}{16} \space ◀加法定理\\
\small \Leftrightarrow \space &\small 2\cos(\alpha-\beta)=\frac{5}{16}\\
\small \Leftrightarrow \space &\small \cos(\alpha-\beta)=\color{red}{\frac{5}{32} \quad \cdots 【答】}\\
\end{split}
求めたい加法定理の形を作れればOK。
不要な項が消えるように式を組み合わせるとうまくいく。
【解答】
\(\small \displaystyle \frac{5}{32}\)
本記事のまとめ
今回は加法定理を利用した式の値の求め方について、解説しました。
どの問題も、加法定理の公式と問題で与えられたsin・cos・tanの値から足りない三角関数を求めるという流れが基本になります。単位円を使ってsin・cos・tanを求めたり、加法定理の公式を覚えておくといった三角関数の基礎が問題を解く上で重要になるので、もし問題を解くときに躓いてしまった人がいれば、関連記事も復習しておきましょう！
・sinθ・cosθ・tanθの関係式｜単位円による証明と三角関数の求め方【三角関数の相互関係】
・加法定理の公式一覧｜証明・覚え方・語呂合わせ・例題
また、加法定理を使った応用問題としては他にも以下のような問題があります。
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