2倍角・半角・3倍角の公式を総まとめ｜意味・証明・覚え方（導き方）をわかりやすく解説

今回は、加法定理の応用である2倍角、半角、3倍角の公式の証明と覚え方のコツを解説します。

こんな人におすすめ
✓ 2倍角・半角・3倍角の公式を確認したい人
✓ 2倍角・半角・3倍角の公式の証明を理解したい人
✓ 効率的な覚え方のコツを知りたい人

ぺんきち

公式×思考法で数学力を最大化

参考書よりも分かりやすい解説を目指した高校数学のブログ記事です。苦手意識を「おもしろい」に変えるきっかけとなれば嬉しいです！
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ぺんきち｜公式×思考法で数学力を最大化

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実績元塾講師歴（6年）

資格中学・高校教員免許保持
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出身千葉県

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２倍角・半角・3倍角の公式
２倍角の公式とは｜公式の意味と証明・覚え方のコツ
半角の公式とは｜公式の意味と証明・覚え方のコツ
3倍角の公式とは｜公式の意味と証明・覚え方のコツ
まとめ｜2倍角・3倍角・半角の公式は加法定理から導出できる

２倍角・半角・3倍角の公式

まずはそれぞれの公式について確認しておきましょう。

✓ ２倍角の公式
・$\small \sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$
・$\small \cos2\theta =2\cos^2\theta-1$
　$\small \cos2\theta =1-2\sin^2\theta$
・$\small \displaystyle \tan2\theta=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}$

・公式の意味
・公式の証明
・公式の覚え方

✓ 半角の公式
・$\small \displaystyle \sin^2\frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos\theta}{2}$
・$\small \displaystyle \cos^2\frac{\theta}{2}=\frac{1+\cos\theta}{2}$
・$\small \displaystyle \tan^2\frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}$

・公式の意味
・公式の証明
・公式の覚え方

✓ ３倍角の公式
・$\small \sin3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta$
・$\small \cos3\theta=-3\cos\theta+4\cos^3\theta$

・公式の意味
・公式の証明
・公式の覚え方

２倍角の公式とは｜公式の意味と証明・覚え方のコツ

2倍角の公式の意味

2倍角の公式とは、角度が2倍になったときのsin・cos・tanを求める公式です。
そのままで覚えやすい（笑）

三角関数の問題では、三角方程式や三角不等式の式変形で
角度部分 $\small 2\theta$を$\small \theta $に変えるときに利用することが多いです。

2倍角の公式の証明

2倍角の公式は加法定理から簡単に導出することができます。

$\small \sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$の証明

加法定理

$$\small \sin(\alpha+\beta)= \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$

において、$\small \beta= \alpha$とすると

\begin{split}
&\small \sin(\alpha +\color{#ff0055}{\alpha})=\sin\alpha\cos\color{#ff0055}{\alpha}+\cos\alpha\sin\color{#ff0055}{\alpha}\\
\small \Leftrightarrow \space &\small \sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\\
\end{split}

$\small \alpha =\theta$に置き換えれば、冒頭の公式と一致します。

【証明終】

$\small \cos2\theta=1-2\sin^2\theta＝2\cos^2\theta-1$の証明

加法定理

$$\small \cos(\alpha+\beta)= \cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$

において、$\small \beta= \alpha$とすると

\begin{split}
&\small \cos(\alpha +\color{#ff0055}{\alpha})=\cos\alpha\cos\color{#ff0055}{\alpha}-\sin\alpha\sin\color{#ff0055}{\alpha}\\
\small \Leftrightarrow \space &\small \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\\
\end{split}

ここで、三角関数の関係式 $\small \sin^2\alpha= 1-\cos^2\alpha $を使って$\small \sin\alpha$を消去すると

\begin{split}
&\small \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\color{#ff0055}{\sin^2\alpha}\\
\small \Leftrightarrow \space &\small \cos2\alpha=\cos^2\alpha-(\color{#ff0055}{1-\cos^2\alpha})\\
\small ∴ \space &\small \cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1\\
\end{split}

1つ目の公式の証明完了！

逆に、$\small \cos^2\alpha = 1-\sin^2\alpha$を使って$\small \cos\alpha$を消去すると

\begin{split}
&\small \cos2\alpha=\color{#ff0055}{\cos^2\alpha}-\sin^2\alpha\\
\small \Leftrightarrow \space &\small \cos2\alpha=(\color{#ff0055}{1-\sin^2\alpha})-\sin^2\theta\\
\small ∴ \space &\small \cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha\\
\end{split}

2つ目の公式の証明も完了！

【証明終】

$\small \displaystyle \tan2\theta=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}$の証明

こちらも同様にtanの加法定理の公式

$$\small \displaystyle \tan(\alpha+\beta)= \frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$$

で、$\small \beta= \alpha$とすれば導くことができます。

\begin{split}
&\small \displaystyle \tan(\alpha+\color{#ff0055}{\alpha})= \frac{\tan\alpha+\tan\color{#ff0055}{\alpha}}{1-\tan\alpha\tan\color{#ff0055}{\alpha}}\\
\small \Leftrightarrow \space &\small \displaystyle \tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}\\
\end{split}

$\small \alpha =\theta$に置き換えれば、冒頭の公式と一致します。

【証明終】

2倍角の公式の覚え方のコツ

2倍角の公式は、証明方法からもわかる通り

加法定理で$\small \beta = \alpha$とする！

と覚えておけば簡単に導出ができます。

しかし、2倍角の公式のうち

・$\small \sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$
・$\small \cos2\theta =2\cos^2\theta-1$
・$\small \cos2\theta =1-2\sin^2\theta$

の3つは利用頻度が高いので、覚えておくのがおすすめです！

半角の公式とは｜公式の意味と証明・覚え方のコツ

半角の公式の意味

半角の公式は、角度を半分にしたときのsin・cos・tanの値を求める公式です。

半角の公式は、実は2倍角の公式を別視点で書き直した式になります。
どういうことかというと、角度を2倍したときの三角関数の値を求める公式が2倍角の公式でしたが、これは2倍した後の角度を基準に考えれば、もともとの角度は半分になります。

そのため、2倍角の公式と半角の公式はちょっと式変形すると簡単に導くことができます。

【補足】半角の公式は積分で使われる！？
数Ⅲの積分を学習していない人は読み飛ばしてもらってOKです！
半角の公式は、数Ⅲの積分で三角関数の次数を下げるときに利用されたりします。

詳細は割愛しますが、$\small \cos^2\theta$はそのままだと積分できませんが、半角の公式では左辺が『2乗』、右辺が『1乗』の形になっているため、2乗を消して
$$\small \displaystyle \int \cos^2\theta d\theta=\int \frac{1+\cos2\theta}{2}d\theta$$
のように積分可能な形に式変形できます。

このときに使った
$$\small \displaystyle \cos^2\theta=\frac{1+\cos2\theta}{2}$$
が半角の公式です（角度を$\small \theta$ → $\small 2\theta$に置き換えた形ですね）。

このように、三角関数の角度が半分の値を求める以外の場面でも使われています。

半角の公式の証明

では、それぞれの公式の証明を確認していきましょう。
基本的には、2倍角の公式を式変形することで証明することができます。

$\small \displaystyle \sin^2\frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos\theta}{2}$の証明

2倍角の公式

$$\small \cos2\theta =1-2\sin^2\theta$$

から

\begin{split}
&\small \displaystyle \cos2\theta =1-2\sin^2\theta\\
\small \Leftrightarrow \space &\small \displaystyle 2\sin^2\theta=1-\cos2\theta \\
\small \Leftrightarrow \space &\small \displaystyle \sin^2\theta=\frac{1-\cos2\theta}{2}\\
\end{split}

ここで、$\small \displaystyle \theta \space → \space \frac{\theta}{2}$に置き換えることで

\begin{split}
&\small \displaystyle \sin^2\color{#ff0055}{\frac{\theta}{2}}=\frac{1-\cos2\cdot \color{#ff0055}{\dfrac{\theta}{2}}}{2}\\
\small ∴ \space &\small \displaystyle \sin^2\frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos\theta}{2}\\
\end{split}

【証明終】

$\small \displaystyle \cos^2\frac{\theta}{2}=\frac{1+\cos\theta}{2}$の証明

$$\small \cos2\theta =2\cos^2\theta-1$$

を式変形することで

\begin{split}
&\small \displaystyle \cos2\theta =2\cos^2\theta-1\\
\small \Leftrightarrow \space &\small \displaystyle 2\cos^2\theta=1+\cos2\theta \\
\small \Leftrightarrow \space &\small \displaystyle \cos^2\theta=\frac{1+\cos2\theta}{2}\\
\small → \space &\small \displaystyle \cos^2\frac{\theta}{2}=\frac{1+\cos\theta}{2} \space ◀\theta \space → \space \frac{\theta}{2}に置き換え\\
\end{split}

【証明終】

$\small \displaystyle \tan^2\frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}$の証明

tanの半角の公式だけは2倍角の公式から変形しようとすると、きれいな形にならないため、さきほど証明したsin・cosの半角の公式とtanの三角関数の関係式を利用することで示すことができます。

tanの三角関数の関係式

$$\small \displaystyle \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$$

の両辺を2乗して、角度を$\small \displaystyle \theta \space → \space \frac{\theta}{2}$に置き換えた式を考えると

\begin{split}
&\small \displaystyle \tan^2\frac{\theta}{2} = \frac{\sin^2\dfrac{\theta}{2}}{\cos^2\dfrac{\theta}{2}}\\
\small \Leftrightarrow \space &\small \displaystyle \tan^2\frac{\theta}{2} =\frac{\dfrac{1-\cos\theta}{2}}{\dfrac{1+\cos\theta}{2}} \space ◀半角の公式\\
\small ∴ \space &\small \displaystyle \tan^2\frac{\theta}{2} =\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}\\
\end{split}

【証明終】

半角の公式の覚え方のコツ

半角の公式は、2倍角の公式ほど利用頻度は高くないので

2倍角の公式から導出できる

と覚えておけばOKです。

3倍角の公式とは｜公式の意味と証明・覚え方のコツ

3倍角の公式の意味

✓ ３倍角の公式
・$\small \sin3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta$
・$\small \cos3\theta=-3\cos\theta+4\cos^3\theta$

3倍角の公式は、角度が3倍になったときのsin・cos・tanの値を求める公式です。

2倍角の公式と同じく、三角方程式や三角不等式の式変形でよく出てきます。

3倍角の公式の証明

$\small \sin3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta$の証明

$\small 3\theta = \theta +2\theta$と考えて加法定理と2倍角の公式を使って式変形すると

\begin{split}
\small \sin\color{#ff0055}{3\theta}&\small =\sin\color{#ff0055}{(\theta+2\theta)}\\
&\small =\sin\theta\color{blue}{\cos2\theta}+\cos\theta\color{blue}{\sin2\theta}\\
&\small =\sin\theta\color{blue}{(1-2\sin^2\theta)}+\cos\theta\cdot\color{blue}{(2\sin\theta\cos\theta)}\\
&\small =\sin\theta-2\sin^3\theta+2\sin\theta\color{blue}{\cos^2\theta}\\
&\small =\sin\theta-2\sin^3\theta+2\sin\theta\color{blue}{(1-\sin^2\theta)}\\
&\small =\sin\theta-2\sin^3\theta+2\sin\theta-2\sin^3\theta\\
&\small =3\sin\theta-4\sin^3\theta\\
\end{split}

途中式の変形は、$\small \color{blue}{\sin}3\theta$なので、cosを消去して$\small \color{blue}\sin$だけに統一する方針で式変形する、と考えるとよいでしょう。

$\small \cos3\theta=-3\cos\theta+4\cos^3\theta$の証明

同様に、加法定理と2倍角の公式を使って式変形すると

\begin{split}
\small \cos\color{#ff0055}{3\theta}&\small =\cos\color{#ff0055}{(\theta+2\theta)}\\
&\small =\cos\theta\color{blue}{\cos2\theta}-\sin\theta\color{blue}{\sin2\theta}\\
&\small =\cos\theta\color{blue}{(2\cos^2\theta-1)}-\sin\theta\cdot\color{blue}{(2\sin\theta\cos\theta)}\\
&\small =2\cos^3\theta-\cos\theta-2\color{#ff0055}{\sin^2\theta}\cos\theta\\
&\small =2\cos^3\theta-\cos\theta-2\color{#ff0055}{(1-\cos^2\theta)}\cos\theta\\
&\small =2\cos^3\theta-\cos\theta-2\cos\theta+2\cos^3\theta\\
&\small =-3\cos\theta+4\cos^3\theta\\
\end{split}

3倍角の公式の覚え方のコツ

3倍角の公式は、使用頻度も少ないので導出方法だけ覚えておけばOKと覚えておきましょう。

ただ、暗記もしておきたい人のために語呂合わせの覚え方も紹介しておきます。

✓ 3倍角の公式の覚え方（語呂合わせ）
・$\small \sin3\theta$の語呂合わせ
　　$\small \sin3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta$
　　サン（3）シャイン（sin）引いて（ー）、夜（4）風が染（sin）みる身（3）に…
　　
・$\small \cos3\theta$は、$\small \sin3\theta$の公式でsin・cosと符号を入れ替えればOKと覚えればよいでしょう。
　