【等式の証明】条件付き等式の証明、比例式を含む等式の証明（3パターンの証明方法と解法のコツを徹底解説）

今回は条件式や比例式を含む等式証明の問題について3つの証明方法を解説したうえで、おすすめの解法について紹介していきます！

等式証明の考え方をしっかり理解したい人や複数ある証明方法のうち、結局どの問題でどの証明方法を使えばいいのか疑問に感じている人、おすすめの証明方法を知りたい人は本記事で徹底解説していますので、ぜひ最後まで確認してみてください！

• 等式の証明問題が苦手な人
• 等式を証明する3つの方法について知りたい人
• 等式の証明問題でおすすめの証明方法を知りたい人
• 等式の証明問題の問題パターンごとの解法のコツを知りたい人
• 定期テスト対策をしたい人

【問題＆解説】等式の証明問題

【問題1】等式の証明（難易度：★☆☆）

（左辺）-（右辺）を計算すると

\begin{split}
&\small (a+b)^2-(a-b)^2-4ab\\
\small =&\small (a^2+2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2)-4ab\\
\small =&\small a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2-4ab\\
\small =&\small 4ab-4ab\\
\small =&\small \color{red}0\\
\end{split}

よって、（左辺）-（右辺）\(\small =0\)なので、（左辺）=（右辺）が示せた（証明終）

●別解
『（括弧がある式）＝（括弧がない式）』の形なので、（括弧がある式）を展開することで（括弧がない式）になることを示す証明方法②で解いてもOK（講義2_証明方法②参照）。以下にその解法を示す。
\begin{split}
\small（左辺）&\small =(a+b)^2-(a-b)^2\\
&\small =(a^2+2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2)\\
&\small =a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2\\
&\small =4ab\\
&\small =（右辺）\\
\end{split}
よって、（左辺）=（右辺）が示せた（証明終）

●証明する際の注意点
論証する際は、これから証明したい式である『（左辺）＝（右辺）』を証明の中に含めないように注意しよう。詳細は、講義2を参照。

（左辺）-（右辺）を計算すると

\begin{split}
&\small (ax+by)^2+(ay−bx)^2-(a^2+b^2)(x^2+y^2)\\
\small =&\small (a^2x^2+2abxy+b^2y^2)+(a^2y^2−2abxy+b^2y^2)\\
&\small \quad -(a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2)\\
\small =&\small (a^2x^2+b^2y^2+a^2y^2+b^2y^2)\\
&\small \quad -(a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2)\\
\small =&\small \color{red}0
\end{split}

よって、（左辺）-（右辺）\(\small =0\)なので、（左辺）=（右辺）が示せた（証明終）

【問題2】条件付きの等式証明（難易度：★★☆）

示す等式の（左辺）-（右辺）を計算すると

\begin{split}
&\small a^2+b^2+1-2(a+b-ab)\\
\small =&\small a^2+b^2+1-2a-2b+2ab\\
\small =&\small \color{red}{(a+b)}^2+1-2\color{red}{(a+b)}\\
\end{split}

上式に\(\small \color{red}{a+b=1}\)を代入することで、

\begin{split}
&\small \color{red}{(a+b)}^2+1-2\color{red}{(a+b)}\\
\small =&\small \color{red}{1}^2+1-2 \cdot \color{red}{1}\\
\small =&\small 2-2\\
\small =&\small \color{red}0\\
\end{split}

よって、（左辺）-（右辺）\(\small =0\)なので、（左辺）=（右辺）が示せた（証明終）

●補足
（左辺）-（右辺）の式変形の途中で問題の条件式である\(\small a+b=1\)を意識した式変形をしているが、このような式変形に気づかなくとも、問題解決のKeyにも記載の通り、基本的には文字を消去する方針で考えればOKなので、本問であれば、\(\small b=1-a\)を代入することで、
\begin{split}
&\small a^2+b^2+1-2(a+b-ab)\\
\small =&\small a^2+b^2+1-2a-2b+2ab\\
\small =&\small a^2+(1-a)^2+1-2a-2(1-a)+2a(1-a)\\
\small =&\small a^2+(1-2a+a^2)+1-2a-2+2a+2a-2a^2\\
\small =&\small 0\\
\end{split}
のように計算して示すこともできる。
ただ、計算が煩雑になるので、条件式の形をうまく見つけられるのであればその形に変形して代入してあげる方が簡単に示すことができる。

条件式 \(\small a+b+c=0\)から、

\begin{cases}
\small b+c=-a\\
\small c+a=-b\\
\small a+b=-c\\
\end{cases}

なので、これらの関係式を用いることで

\begin{split}
\small (左辺) &\small =\color{#ef5350}{(b+c)(c+a)(a+b)}+abc\\
&\small =\color{#ef5350}{(-a)\cdot (-b) \cdot (-c)}+abc\\
&\small =-abc+abc\\
&\small =\color{red}0\\
&\small =\color{red}{（右辺）}\\
\end{split}

よって、（左辺）=（右辺）が示せた（証明終）。

●補足
示したい等式の右辺が0なので、左辺を計算して0になることを示す方針（証明方法②）で考えた。

示す等式の（左辺）-（右辺）を計算すると

\begin{split}
&\small \displaystyle a\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+b\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)+c\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)-(-3)\\
\small =&\small \displaystyle a\left(\frac{b+c}{bc}\right)+b\left(\frac{a+c}{ac}\right)+c\left(\frac{a+b}{ab}\right)+3\\
\end{split}

ここで、条件式 \(\small a+b+c=0\)から、

\begin{cases}
\small b+c=-a\\
\small c+a=-b\\
\small a+b=-c\\
\end{cases}

なので、これらの関係式を代入することで

\begin{split}
&\small \displaystyle a\left(\frac{\color{#ef5350}{b+c}}{bc}\right)+b\left(\frac{\color{#ef5350}{a+c}}{ac}\right)+c\left(\frac{\color{#ef5350}{a+b}}{ab}\right)+3\\
\small =&\small \displaystyle a\left(\frac{\color{#ef5350}{-a}}{bc}\right)+b\left(\frac{\color{#ef5350}{-b}}{ac}\right)+c\left(\frac{\color{#ef5350}{-c}}{ab}\right)+3\\
\small =&\small \displaystyle -\frac{a^2}{bc}-\frac{b^2}{ac}-\frac{c^2}{ab}+3\\
\small =&\small -\displaystyle \frac{a^3+b^3+c^3-3abc}{abc}\\
\small =&\small -\displaystyle \frac{\color{red}{(a+b+c)}(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)}{abc}\\
\small =&\small -\displaystyle \frac{\color{red}0\cdot (a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)}{abc}\\
\small =&\small 0
\end{split}

よって、（左辺）-（右辺）\(\small =0\)なので、（左辺）=（右辺）が示せた（証明終）

●別解
解答の証明ではとりあえず通分していきながら関係式の形を作り出したが、分母が同じものでうまく組み合わせるともう少し簡単に計算ができる。
\begin{split}
&\small \displaystyle a\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+b\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)+c\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)-(-3)\\
\small =&\small \displaystyle \left(\frac{b+c}{a}\right)+\left(\frac{a+c}{b}\right)+\left(\frac{a+b}{c}\right)+3\\
\small =&\small \displaystyle \left(\frac{-a}{a}\right)+\left(\frac{-b}{b}\right)+\left(\frac{-c}{c}\right)+3\\
\small =&\small (-1)+(-1)+(-1)+3\\
\small =&\small 0\\
\end{split}

【問題3】条件が比例式で与えられる等式の証明（難易度：★★☆）

\(\small \displaystyle a:b=c:d \space \Leftrightarrow \space \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)より、\(\small \displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d} =k\)とおくと

\begin{split}
&\small \displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d} =k\\
\Leftrightarrow &\small
\begin{cases}
\small a=bk\\
\small c=dk\\
\end{cases}
\quad [*1]\\
\end{split}

\(\small *1\)：補足
\begin{split}
&\small \displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d} =k\\
\end{split}
は、\(\small \displaystyle \frac{a}{b}=k\)、\(\small \displaystyle \frac{c}{d} =k\)なのでそれぞれ計算すると\(\small [*1]\)の形になる。

より、（左辺）-（右辺）に代入して計算すると

\begin{split}
&\small (\color{red}a+2b)(\color{blue}c-d)-(\color{red}a-b)(\color{blue}c+2d)\\
\small =&\small (\color{red}{bk}+2b)(\color{blue}{dk}-d)-(\color{red}{bk}-b)(\color{blue}{dk}+2d)\\
\small =&\small (k+2)b\cdot (k-1)d-(k-1)b\cdot (k+2)d\\
\small =&\small (k+2)(k-1)bd-(k+2)(k-1)bd\\
\small =&\small \color{red}0\\
\end{split}

よって、（左辺）-（右辺）\(\small =0\)なので、（左辺）=（右辺）が示せた（証明終）

\(\small \displaystyle \frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=k\)とおくと

\begin{cases}
\small x=ak\\
\small y=bk\\
\small z=ck\\
\end{cases}

より

\begin{split}
\small (左辺) &\small \displaystyle = \frac{px+qy}{pa+qb}\\
&\small \displaystyle = \frac{p(ak)+q(bk)}{pa+qb}\\
&\small \displaystyle = \frac{(pa+qb)k}{pa+qb}\\
&\small \displaystyle = \color{red}{k \quad \cdots ①}\\
\end{split}

\begin{split}
\small (右辺) &\small \displaystyle = \frac{px+qy+rz}{pa+qb+rc}\\
&\small \displaystyle = \frac{p(ak)+q(bk)+r(ck)}{pa+qb+rc}\\
&\small \displaystyle = \frac{(pa+qb+rc)k}{pa+qb+rc}\\
&\small \displaystyle = \color{red}{k \quad \cdots ②}\\
\end{split}

①、②の結果より、（左辺）=（右辺）が示せた（証明終）

●補足
証明方法①の『（左辺）\(\small -\)（右辺）\(\small =0\)』を示す方針でも解けますが、本問では左辺も右辺も複雑な式だったので、それぞれを計算して簡単な式にしてから引き算しようと思っていたら案外シンプルな形になったので引き算するまでもなく同じであることを示すことができ、結果的に証明方法③で解けました。

【徹底解説】等式の証明の解き方

【講義1】等式の証明方法3パターン

等式の証明方法は実は3パターンしかありません。

3パターンもでてくると、「それぞれの使い分けは？」、「おすすめの方法は？」という疑問が出てくると思うので、解説していきます。

証明方法①：引き算して０を示す

「同じものを引き算したら０になる」という性質を利用して、示したい等式の左辺と右辺の値を引き算して０になることを確認する方法です。

数式を用いて説明するならば、「（左辺）-（右辺）\(\small =0\)であるならば、（左辺）=（右辺）が成り立つ」という論法ですね。

最も基本な考え方であり、どんな等式証明の問題でも使える点がポイントです。

証明方法②：（一方）＝（他方）を示す

示したい等式の一方を計算していき、もう一方になることを示す方法です。言葉だと分かりにくいですが、たとえば、極端な例でいうと

$$\small 2(a+b)-2(a-b)=4b\space \mathbf{を示せ}$$

という問題であれば、左辺を展開して計算した結果が右辺の\(\small 4b\)になることを示せばよいということです。

なので、この方法を使うのは『（括弧がある式）＝（括弧がない式）』の等式証明で有効です。括弧がない式というのは、言い換えるのであれば、既にこれ以上計算できない値（冒頭の例であれば、\(\small 4b\)）になっているということです。

証明方法③：両辺を計算して同じことを示す

証明方法②では一方を計算しましたが、③は両方を計算して同じになることを示します。

たとえば証明する等式の形が

$$\small (a+b)^2=(a-b)^2+4ab \space \mathbf{を示せ}$$

のような問題の場合、つまり、両辺がともに計算できる等式の証明で有効です。『（括弧がある式）＝（括弧がある式）』の場合と覚えておいても大体OKです。

数式が複雑な形になっているから分かりにくいだけで、これ以上計算できない値まで簡単にしてあげれば同じ値かがすぐわかるよね、という考え方ですね。

●補足：証明方法②は③の特殊形
「（括弧がある式A）＝（括弧がない式B）」の等式証明は、証明方法②の方針で（括弧がある式A）を計算して（括弧がない式A）にしたものが（括弧がない式B）と一致するかを確認する証明方法でした。
一方で、「（括弧がある式A）＝（括弧がある式B）」の等式証明は、証明方法③の方針で、（括弧がある式A）を（括弧がない式A）、（括弧がある式B）を（括弧がない式B）にしてから（括弧がない式A）と（括弧がない式B）が一致するかを確認する証明方法です。
なので、証明方法③で考えておけば②はその特殊形（「（括弧がある式A）＝（括弧がある式B）」で右辺の「括弧がある式B」が既に「括弧がない式B」になっている問題とみなせる）と考えることもできます。

おすすめの証明方法

3パターンも覚えるのは大変…という人は、証明方法①の『（左辺）\(\small -\)（右辺）\(\small =0\)』だけ覚えておけばOKです。

理由は、どんな問題でも使えて、かつ一番やることが明確でシンプルな方法だからです。どんな等式の証明であっても、ただ機械的に（左辺）-（右辺）を計算していって「0」になることを目指せばよいので、この証明方法をしっかりマスターしましょう。

【講義2】（左辺）＝（右辺）を仮定してはいけない理由

以下のような等式の証明問題があったとします。

等式 \(\small (a+b)^2=(a-b)^2+4ab\)を示せ。

この問題の解答として、今から記載する証明には間違っている箇所があります。どこが間違っているかを考えてみましょう。

（証明）　※誤りあり
\begin{split}
\small (a+b)^2 &\small =(a-b)^2+4ab\\
\small a^2+2ab+b^2 &\small =(a^2-2ab+b^2)+4ab\\
\small a^2+2ab+b^2 &\small =a^2+2ab+b^2\\
\end{split}
（左辺）＝（右辺）となっているので題意は示せた（証明終）

一見すると問題なさそうに見えますが、実は1行目の「\(\small (a+b)^2 =(a-b)^2+4ab\)」という書き出しが間違っています。

証明しようとしている式である\(\small (a+b)^2 =(a-b)^2+4ab\)が、証明の中に出てきてしまっているので、証明を読む人からすると、「あれ？まだ等式が成り立つか分かってないのに、いきなりイコールで結ばれているぞ！？」となるわけです。

数式の証明だと少しわかりにくいかもしれないので、たとえば、「パソコンとPCは同じもの」ということを証明したいとしましょう。そのときに証明の冒頭が以下のようにはじまったらどうでしょうか？

（証明）
パソコンとPCは同じものなので、
・・・

「それを今から証明するじゃないんかーい」というツッコミが聞こえてきそうですね(^^;)。これと同じで、証明しようとしていることを証明の中で使ってしまうと「それを証明するんでしょ？」と言われてしまうので、注意が必要です。

●補足：説明と証明の違い
誤った証明のところで紹介したみたいに、『\(\small (a+b)^2 =(a-b)^2+4ab\)が成り立つと仮定して式変形していったら同じになるので等しいよね』という証明方法も確かに伝わる気がしますが、なぜだめなのでしょうか？
その理由は説明と証明の違いを理解すると分かるかもしれません。
説明は皆さんも普段から使っているように、個々人が考えた物事を相手に理解してもらうための文章や発言ですね。一方で証明は、数学的な定理や関係式などを用いて命題を示すことです。
つまり、冒頭で紹介した誤った証明は、説明としては確かに理解できますが、証明としては等しいかわからないものを「＝」記号で結んでいるので数学的にNGになります。

本記事のまとめ

今回は等式の証明方法について徹底解説していきました。最後に今回の重要ポイントをおさらいして終わりにしましょう。

☆重要ポイント
【等式の証明の基本の解き方】
・証明方法①：（左辺）\(\small -\)（右辺）\(\small ＝0\)を示す　☜ おすすめ
・証明方法②：一方を計算して他方になることを示す
・証明方法③：両辺を計算して同じ形になることを示す

【条件付きの等式証明】
・条件式を利用して文字を減らしてから、証明方法①～③を利用。

【比例式が条件の等式証明】
・\(\small a:b=c:d=k\)とおき、\(\small a=bk, \space c=dk\)を代入して、証明方法①～③を利用。

今回は以上です。お疲れさまでした！