【（数Ⅱ）解と係数の関係】2次方程式の解と式の値（解から式の値・2次方程式を求める問題）

今回は2次方程式の解と係数の関係を用いて式の値や2次方程式を求める問題について徹底解説していきます。解と係数の関係の公式自体は非常に簡単ですが、試験に出てくる問題は公式をうまく活用するためのテクニック面が問われるため、問題慣れが非常に重要な分野と言えます。

そこで本記事では、解と係数の関係で頻出の問題パターンごとに重要なテクニック（考え方）を分かりやすく解説していきますので、ぜひ最後まで頑張って解いてみましょう！

　本記事はこんな人におすすめ

2次方程式の解と係数の関係を利用した問題の頻出パターンを知りたい人
解と係数の関係で重要となるテクニック・考え方を知りたい人
大学入試対策・定期テスト対策がしたい人

　本記事のレベル

重要度

低

余力あれば

普通

必須

高
難易度

易しい

易

やや易

やや難

難

難しい
暗記/理解

暗記重視

暗記

半々

理解

理解重視

【問題＆解説】2次方程式の解と係数の関係の利用
本記事のまとめ

【問題＆解説】2次方程式の解と係数の関係の利用

【問題1】2次方程式の解から式の値を求める問題（難易度：★☆☆）

2次方程式 $\small (x-1)(x-2)+x(x-2)+x(x-1)=0$ の2つの解を$\small \alpha, \beta$とするとき、$\small \displaystyle \frac{1}{\alpha\beta}+\frac{1}{(\alpha-1)(\beta-1)}+\frac{1}{(\alpha-2)(\beta-2)}$の値を求めよ。

問題解決のKey

・問題の2次方程式を展開して解と係数の関係から$\small \alpha\beta,\space (\alpha-1)(\beta-1),\space (\alpha-2)(\beta-2)$の値を求めてもよいが、少々面倒である。そこで、
\begin{split}
\small (x-1)(x-2)+x(x-2)+x(x-1)=\color{#ef5350}{3(x-\alpha)(x-\beta)}
\end{split}
とおいて、$\small x$に適切な値を代入することで所望の値を求めると早い。

　解説

問題の2次方程式の2つの解が$\small \alpha,\beta$であることから、

\begin{split}
&\small (x-1)(x-2)+x(x-2)+x(x-1)= 3(x-\alpha)(x-\beta) \quad [*1]\\
\end{split}

が成り立つ。

*1：【補足】因数分解の形について
たとえば、$\small a \neq 0$として2次方程式$\small ax^2+bx+c=0$の2解が$\small x=1,3$の場合、この2次方程式は、
\begin{split}
&\small ax^2+bx+c=0\\
&\small \Leftrightarrow \space \color{#ef5350}{a(x-1)(x-3)}=0\\
\end{split}
のように因数分解できる。
ちなみに、2次方程式は式全体が定数倍されても解自体は変わらないため$\small x^2$の係数が$\small (x-1)(x-3)$の前につくことに注意。たとえば$\small 2(x-1)(x-3)=0$も$\small 5(x-1)(x-3)=0$も2次方程式の解は$\small x=1,3$で変わらない。変わるのは$\small x$の係数だ。
この考え方を利用すると、今回の2次方程式は
\begin{split}
&\small (x-1)(x-2)+x(x-2)+x(x-1)=0\\
&\small \Leftrightarrow \space 3x^2+bx+c=0\\
\end{split}
（$\small x^2$の係数が3であることはすぐわかる）となり、これが$\small 3(x-\alpha)(x-\beta)$の形に因数分解できるはずだ。
よって、
\begin{split}
&\small \color{#ef5350}{3x^2+bx+c}=0\\
&\small \Leftrightarrow \space \color{#ef5350}{3(x-\alpha)(x-\beta)}=0\\
\end{split}
となるが、左辺はもともと$\small (x-1)(x-2)+x(x-2)+x(x-1)$だったことを思い出すと、結局
$$\small (x-1)(x-2)+x(x-2)+x(x-1)= 3(x-\alpha)(x-\beta)$$
が成り立つことが分かる。

求める式中にある$\small \alpha\beta$の値を求めるために、式[*1]に$\small x=0$を代入すると

\begin{split}
&\small (-1)(-2)+0+0=3\alpha\beta\\
&\small ∴ \quad \alpha\beta=\frac{2}{3} \quad \cdots ①\\
\end{split}

同様に、$\small (\alpha-1)(\beta-1)$の値を求めるために、式[*1]に$\small x=1$を代入すると

\begin{split}
&\small 0+1\cdot(-1)+0=3(1-\alpha)(1-\beta)\\
&\small ∴ \quad (\alpha-1)(\beta-1)=-\frac{1}{3} \quad \cdots ②\\
\end{split}

$\small (\alpha-2)(\beta-2)$の値を求めるために、式[*1]に$\small x=2$を代入すると

\begin{split}
&\small 0+0+2\cdot 1=3(2-\alpha)(2-\beta)\\
&\small ∴ \quad (\alpha-2)(\beta-2)=\frac{2}{3} \quad \cdots ③\\
\end{split}

①～③より、求める式の値は、

\begin{split}
&\small \displaystyle \frac{1}{\alpha\beta}+\frac{1}{(\alpha-1)(\beta-1)}+\frac{1}{(\alpha-2)(\beta-2)}\\
&\small \displaystyle =\frac{3}{2}+(-3)+\frac{3}{2}\\
&\small \displaystyle =3-3\\
&\small \displaystyle =\color{red}{0 \quad \cdots 【答】}\\
\end{split}

【別解】（左辺を展開して解と係数の関係を利用して解く解法）
問題文の2次方程式を展開して整理すると
\begin{split}
&\small (x-1)(x-2)+x(x-2)+x(x-1)=0\\
&\small \Rightarrow \space 3x^2-6x+2=0\\
\end{split}
ここで、解と係数の関係より、
\begin{cases}
\small \alpha+\beta =2\\
\small \displaystyle \color{#ef5350}{\alpha\beta =\frac{2}{3}}\\
\end{cases}
また、
\begin{split}
\small \color{#ef5350}{(\alpha-1)(\beta-1)} &\small =\alpha\beta-(\alpha+\beta)+1\\
&\small \displaystyle =\frac{2}{3}-2+1\\
&\small \displaystyle =\color{#ef5350}{-\frac{1}{3}}\\
\end{split}
\begin{split}
\small \color{#ef5350}{(\alpha-2)(\beta-2)} &\small =\alpha\beta-2(\alpha+\beta)+4\\
&\small \displaystyle =\frac{2}{3}-2\cdot 2+4\\
&\small \displaystyle =\color{#ef5350}{\frac{2}{3}}\\
\end{split}
と求まる（以降、求めた値を式に代入するのは解説と同様）。

【問題2】式の値から2次方程式を求める問題（難易度：★★☆）

（1）2次方程式 $\small x^2+2x+3=0$ の解を$\small \alpha, \beta$とするとき、$\small \displaystyle \frac{1-\alpha}{1+\beta}, \frac{1-\beta}{1+\alpha}$を解とする2次方程式は$\small x^2-[\mathsf{ア}]x+[\mathsf{イ}]=0$である。
（2）2次方程式 $\small x^2+2px+p=0$ の2つの解を$\small \alpha, \beta$とするとき　$\small \displaystyle \frac{\alpha^2}{\beta}+\frac{\beta^2}{\alpha}=-9$となる定数$\small p$の値を求めよ。
[（1）関東学院大,（2）関西大]

問題解決のKey

式の値を求めるときには、対称式の関係性を利用して、解と係数の関係で分かっている解の和と積（$\small \alpha+\beta , \space \alpha\beta$）の形に式変形するのが定石。

【重要】対称式の関係性
・$\small \alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta$
・$\small \alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)$
・$\small (\alpha-k)(\beta-k)=\alpha\beta-k(\alpha+\beta)+k^2$（$\small k$は定数）

　解説（1）

$\small x^2+2x+3=0$について、解と係数の関係から

\begin{split}
&\small \alpha+\beta =-2, \space \alpha\beta=3\\
\end{split}

次に、求める2次方程式の2つの解を、$\small \displaystyle \gamma= \frac{1-\alpha}{1+\beta}, \space \delta = \frac{1-\beta}{1+\alpha}$とおくと（$\small “\delta”$はマイナーなギリシャ文字ですが、デルタと読みます…）、解と係数の関係から

\begin{split}
\small [ア] &\small =\gamma + \delta\\
&\small = \frac{1-\alpha}{1+\beta}+ \frac{1-\beta}{1+\alpha}\\
&\small = \frac{2-(\alpha^2+\beta^2)}{(\alpha+1)(\beta+1)}\\
\end{split}

分子の$\small \alpha^2+\beta^2$は、有名な対称式の関係性

$$\small \alpha^2+\beta^2 =(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta$$

を利用することで、

\begin{split}
\small \alpha^2+\beta^2 &\small =(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\\
&\small = (-2)^2-2\cdot 3\\
&\small = -2 \space \cdots ①\\
\end{split}

分母の$\small (\alpha+1)(\beta+1)$も展開してあげると

\begin{split}
\small (\alpha+1)(\beta+1)&\small =\alpha\beta+\alpha+\beta +1\\
&\small =3+(-2)+1\\
&\small = 2 \space \cdots ②\\
\end{split}

よって、①，②より

\begin{split}
\small [ア] &\small =\frac{2-(\alpha^2+\beta^2)}{(\alpha+1)(\beta+1)}\\
&\small =\frac{2-(-2)}{2}\\
&\small =\color{red}{2\space\cdots【答】}\\
\end{split}

[イ]についても同様に、解と係数の関係から

\begin{split}
\small [イ] &\small =\gamma \delta\\
&\small = \frac{(\alpha-1)(\beta-1)}{(\alpha+1)(\beta+1)}\\
\end{split}

分子について、

\begin{split}
\small (\alpha-1)(\beta-1) &\small =\alpha\beta -(\alpha+\beta)+1\\
&\small = 3-(-2)+1\\
&\small = 6 \space \cdots ③\\
\end{split}

よって、②、③より、

\begin{split}
\small [イ] &\small =\frac{(\alpha-1)(\beta-1)}{(\alpha+1)(\beta+1)}\\
&\small =\frac{6}{2}\\
&\small =\color{red}{3\space\cdots【答】}\\
\end{split}

　解説（2）

2次方程式 $\small x^2+2px+p=0$の解と係数の関係から

$$\small \alpha+\beta =-2p, \space \alpha\beta =p \space \cdots ①$$

条件式は

\begin{split}
&\small \displaystyle \frac{\alpha^2}{\beta}+\frac{\beta^2}{\alpha}=-9\\
\small \Leftrightarrow \space &\small \displaystyle \frac{\alpha^3+\beta^3}{\alpha\beta}=-9\\
\end{split}

左辺の分母は、①より$\small \alpha\beta =p$となるが、分母は0にならないことから、$\small \ p \neq 0$の条件が付く。

左辺の分子は、

\begin{split}
\small \alpha^3+\beta^3 &\small =(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)\\
&\small =(-2p)^3-3p(-2p)\\
&\small =-8p^3+6p^2\\
\end{split}

よって、与式は

\begin{split}
&\small \displaystyle \frac{\alpha^3+\beta^3}{\alpha\beta}=-9\\
\small \Leftrightarrow \space &\small \displaystyle \frac{-8p^3+6p^2}{p}=-9\\
\small \Leftrightarrow \space &\small \displaystyle -8p^2+6p=-9\\
\small \Leftrightarrow \space &\small \displaystyle 8p^2-6p-9=0\\
\small \Leftrightarrow \space &\small \displaystyle (2p-3)(4p+3)=0\\
\small ∴ \space &\small \displaystyle p=\frac{3}{2}, \space -\frac{3}{4}\\
\end{split}

これらの解は条件$\small p\neq0$を満たす。

よって、$\small \displaystyle p=\frac{3}{2}, \space -\frac{3}{4}$…【答】.

●補足
最後の$\small p$の2次方程式の解は、解の吟味として分母≠0の条件からくる$\small p \neq 0$を満たすことの確認を忘れずに…。

【問題3】解の条件から2次方程式を求める問題（難易度：★★★）

（1）2次方程式 $\small x^2-mx+3m=0$ が整数解のみを持つような定数 $\small m$ の値とそのときの整数解をすべて求めよ。
（2）$\small a$を定数とする。2つの2次方程式 $\small 2x^2-ax-(2a+2)=0, \space x^2-(a+2)x+(a+7)=0$の共通解が1つだけあるとき、その共通解と定数$\small a$の値を求めよ。
[（2）慶応義塾大]

問題解決のKey

・（1）とりあえず判別式から実数解を持つ条件を求めてみると
\begin{split}
\small D &\small =m^2-12m≧0\\
\small \Leftrightarrow \space &\small m(m-12)≧0\\
\small ∴ \space &\small m≦0, \space 12≦m\\
\end{split}
を得るが、この条件では$\small m$の値をうまく絞り込めない…。
そこで、解が整数解という条件から、解の和と積も整数になるはずなので、解と係数の関係性から解の候補を絞り込む方針で考える。
・（2）解と係数の関係を利用しても解くことができるが（別解参照）、共通解を文字で置いて2つの2次方程式に代入して求める解法が簡単。解と係数の関係を利用するか否かは問題から見極めできるようにしておこう。

　解説（1）

2次方程式の整数解の組を$\small (\alpha,\beta)$とおく。ただし、解の個数が1個の場合は、$\small \alpha =\beta $とし、解の組合せでは順番の違いは気にしないので$\small \alpha≦\beta$としておく[*1]。

*1：【補足】解$\small \alpha,\beta$の設定について
「ただし～」以降に細かいことをごちゃごちゃ書いていますが、分かりにくいと思うので、言いたいことを具体例で説明します。
たとえば、解の組合せとして、$\small (\alpha,\beta)=(1,1),(2,3),(3,2)$の3つが出てきたとすると、1つ目の$\small (\alpha,\beta)=(1,1) \space (\alpha =\beta =1)$の場合は、解が$\small x=1$の重解を表すと言っているだけ。続いて、2つ目と3つ目は$\small \alpha$と$\small \beta $の値が入れ替わっただけで、いずれも解が$\small x=2,3$の場合を表しているので、パターンとしては同じになります。このような重複するパターンを避けるためには、2つの解のうち小さい方を$\small \alpha$、大きい方を$\small \beta$のように大小関係を決めておけば回避できます。というわけで、「$\small \alpha≦\beta$とする」という注意書きをしているわけです。

解と係数の関係から、

\begin{cases}
\small \alpha+\beta=m\\
\small \alpha\beta =3m\\
\end{cases}

上記の式を連立させて$\small m$を消去すると

\begin{split}
&\small \alpha\beta =3(\alpha+\beta)\\
\small \Leftrightarrow \space &\small \alpha\beta -3\alpha-3\beta=0\\
\small \Leftrightarrow \space &\small \alpha\beta -3\alpha-3\beta+9=9\\
\small \Leftrightarrow \space &\small (\alpha-3)(\beta -3)=9\\
\end{split}

上式で、$\small \alpha,\beta$は整数なので、$\small \alpha-3,\beta-3$も整数である。

よって、上式の解の組合せは、$\small \alpha-3≦\beta-3$の大小関係に注意すると

\begin{split}
&\small (\alpha-3,\beta-3)=(-9,-1),(-3,-3),(3,3),(1,9)\\
\small ∴ \space &\small (\alpha,\beta)=(-6,2),(0,0),(6,6),(4,12)\\
\end{split}

また、それぞれの場合の$\small m$の値は、

$\small (\alpha,\beta)=(-6,2)$のとき、$\small m=-4$、
$\small (\alpha,\beta)=(0,0)$のとき、$\small m=0$、
$\small (\alpha,\beta)=(6,6)$のとき、$\small m=12$、
$\small (\alpha,\beta)=(4,12)$のとき、$\small m=16$。

よって、整数解と$\small m$の値は、

$\small m=-4$のとき、整数解は$\small -6,2$、
$\small m=0$のとき、整数解は$\small 0$、
$\small m=12$のとき、整数解は$\small 6$、
$\small m=16$のとき、整数解は$\small 4,12$　…【答】

Point

整数解を求める問題の常套手段である「積の形＝整数」の形にうまく式変形して、解の候補を絞り込むことがポイント。

　解説（2）

2つの2次方程式の共通解を$\small t$とおくと

\begin{split}
&\small 2t^2-at-(2a+2)=0 \space \cdots①\\
&\small t^2-(a+2)t+(a+7)=0\space \cdots②\\
\end{split}

$\small ①-②×2$を計算して$\small t^2$を消去すると

\begin{split}
&\small (a+4)t-4a-16=0\\
\small \Leftrightarrow \space &\small (a+4)t=4a+16\\
\end{split}

ここで、$\small a \neq -4$とすると、

\begin{split}
&\small t=\frac{4(a+4)}{a+4}\\
\small ∴ \space &\small t=4\\
\end{split}

この結果を①に代入すると

\begin{split}
&\small 2\cdot 4^2-4a-(2a+2)=0 \\
\small \Leftrightarrow \space &\small 32-4a-2(a+1)=0 \\
\small \Leftrightarrow \space &\small 16-2a-(a+1)=0 \\
\small \Leftrightarrow \space &\small 3a=15 \\
\small ∴ \space &\small a=5 \\
\end{split}

これは、$\small a \neq -4$を満たすので解の候補としても適切。

逆に、$\small a=5$を問題の2次方程式に代入して各々の解を求める[*1]と、

\begin{split}
&\small 2x^2-5x-12=0\\
\small \Leftrightarrow \space &\small (2x+3)(x-4)=0\\
\small ∴ \space &\small \displaystyle x= -\frac{3}{2}, \space 4\\
&\small x^2-7x+12=0\\
\small \Leftrightarrow \space &\small (x-3)(x-4)=0\\
\small ∴ \space &\small \displaystyle x=3, \space 4\\
\end{split}

より、確かに共通解は4のみであり、問題文の条件を満たす。

*1：【補足】各々の解を求める理由
共通解を $\small t$ とおいて計算した結果、$\small t=4$、$\small a=5$が得られたにも関わらず、なぜ、改めて各々の解を求めるのか？その理由は、問題文に「共通解が1つだけ」という条件があるからである。共通解を $\small t$ とおいて$\small t=4$が得られたというだけでは、もう片方の解も共通解になっている可能性が否めない。そのため、実際に方程式を解いて問題の条件を満たしているかの確認が必要なのである。

一方で、$\small a=-4$の場合は、①、②はそれぞれ

\begin{split}
&\small [①] 2t^2+4t+6=0 \\
&\small \space \Leftrightarrow \space t^2+2t+3=0\\
&\small [②] t^2+2t+3=0\\
\end{split}

となり、2つの2次方程式が一致する。またこの方程式の解は、$\small D/4=1^2-3<0$より、2つの異なる虚数解を持つことになるが、これは問題文の共通解が1つだけあるという条件に反するため不適。

よって、$\small a=5$のとき共通解$\small 4$を持つ…【答】.

【（２）の別解】解と係数の関係を利用した解法
共通解を $\small \alpha$とおくと、2つの方程式に対して解と係数の関係から
\begin{split}
&\small \displaystyle \alpha + \beta =\frac{a}{2} \space \cdots ①, \space \alpha\beta =-a-1 \space \cdots ②\\
&\small \displaystyle \alpha + \gamma =a+2 \space \cdots ③, \space \alpha\gamma =a+7 \space \cdots ④\\
\end{split}
①は、$\small \displaystyle \beta =\frac{a}{2}-\alpha$として②に代入することで
\begin{split}
&\small \displaystyle \alpha\left( \frac{a}{2}-\alpha \right) =-a-1 \\
\small \Leftrightarrow \space &\small \displaystyle 2\alpha^2 -a\alpha-2a-2=0 \space \cdots ⑤\\
\end{split}
同様に、③を$\small \gamma =a+2-\alpha$として④へ代入することで
\begin{split}
&\small \displaystyle \alpha\left(a+2-\alpha \right) =a+7 \\
\small \Leftrightarrow \space &\small \displaystyle \alpha^2 -(a+2)\alpha+a+7=0 \space \cdots ⑥\\
\end{split}
$\small ⑤-⑥×2$より、$\small (a+4)\alpha -4a-16=0$を得る。以降は本線の解答同様に$\small \alpha$を計算することで解くことができるので解説は割愛する。

本記事のまとめ

今回は2次方程式の解と係数の関係を利用する問題について解説しました。最後に、問題の典型パターンと解と係数の関係を利用するか否かの見極めポイントを整理しておきましょう。

Point：『解と係数の関係』を利用する典型問題と解答の指針

パターン①：2次方程式の解で表される式の値を求める
パターン②：2次方程式の解で表される式の値から2次方程式に含まれる定数を求める
解答の指針：解と係数の関係（$\small \alpha+\beta,\space \alpha\beta$の形）から対称式の関係性を利用して値を計算

パターン③：2次方程式の解が満たす条件から、解や2次方程式に含まれる定数を求める
解答の指針：解の和 or 積が特定の条件を満たす場合に解と係数の関係を利用
　たとえば、問題3（1）では、2解が整数解という条件から、『解の和と積がともに整数』という条件で絞り込みが可能。一方で、問題3（２）は、『共通解を1つだけ持つ』という条件が、直接的に2解の和や積が満たす条件と結びつかないため、解と係数の関係を利用した解法があまり効果的ではないと判断できる。

今回は以上です。お疲れさまでした！