加法定理の公式一覧｜証明・覚え方・語呂合わせ・例題をわかりやすく解説

今回は三角関数の加法定理の公式について、証明（導出）方法と覚え方（語呂合わせ）、加法定理を使った問題の解き方についてわかりやすく解説していきます。

こんな人におすすめ！
✓ 加法定理がなぜ成り立つのか、証明方法を知りたい！
✓ 加法定理が覚えられない… 覚えやすい語呂合わせを知りたい！
✓ 加法定理を使ってsin、cos、tanの値を求める問題の解き方が知りたい！

加法定理の公式一覧

加法定理は、sin・cos・tanのぞれぞれに2つずつ、全部で6つの公式があります（多すぎぃ！）。

加法定理の公式一覧
（a1） \(\small \sin(\alpha+\beta)= \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\)
（a2） \(\small \sin(\alpha-\beta)= \sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\)

（b1）\(\small \cos(\alpha+\beta)= \cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\)
（b2）\(\small \cos(\alpha-\beta)= \cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\)

（c1） \(\small \displaystyle \tan(\alpha+\beta)= \frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\)
（c2） \(\small \displaystyle \tan(\alpha-\beta)= \frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}\)

このあと、証明（導出）方法を解説しますが、
毎回導くのは大変なので加法定理は覚える必要があります。

覚え方（語呂合わせ）は有名なものも含めて、後半で紹介します。

加法定理の証明｜なぜ成り立つのかを理解しよう

ここでは、さきほど確認した6つの加法定理の公式が成り立つことを証明します。
少し証明が長くなるので、まずはじめに大まかな証明の流れを説明します。

加法定理の証明（大まかな流れ）
・まずは単位円を使って『（b2）』を証明
・次に、\(\small \displaystyle \alpha\space → \space \frac{\pi}{2}+\alpha\)に置き換えることで『（a2）』を証明
・最後に、\(\small \displaystyle \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}\)を用いて『（c2）』を証明
・その他の公式は、\(\small \beta\) → \(\small -\beta\)に置き換えるだけ。

詳細はこのあと解説するので、はじめは『（b2）』→『（a2）』→『（c2）』の順で証明していく、ということだけ押さえてもらえればOKです。

では、証明をはじめていきましょう！

cos(α-β)の証明｜余弦の加法定理

図のような単位円と2点 A, Bを考えます。

【補足】
単位円なので、半径OA、OBは1になります。
また、単位円では\(\small x\)軸とのなす角を \(\small \theta\)とすると、
sin, cosの定義から、\(\small x\)座標が \(\small \cos \theta\), \(\small y\)座標が \(\small \sin \theta\)になります。
詳しくはこの記事を読んでね👉：三角関数の定義｜単位円でどう表せる？

よって、線分ABの長さは三平方の定理から

\begin{split}
\small \mathrm{AB}^2 &\small = (\cos\beta-\cos\alpha)^2+(\sin\alpha-\sin\beta)^2\\
&\small = (\cos^2\beta-2\cos\alpha\cos\beta+\cos^2\alpha)\\
&\small \quad +(\sin^2\alpha-2\sin\alpha\sin\beta+\sin^2\beta)\\
&\small =2-2(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta) \quad \cdots ①\\
\end{split}

【補足】
最後の式変形は、\(\small \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\), \(\small \sin^2\beta+\cos^2\beta=1\)を使っています。

一方で、\(\small △\mathrm{OAB}\)に着目して余弦定理を使うと、
\begin{split}
\small \mathrm{AB}^2 &\small = \mathrm{OA}^2+ \mathrm{OB}^2-2 \mathrm{OA}\cdot \mathrm{OB}\cos \angle \mathrm{AOB}\\
&\small = 1^2+1^2-2\cos(\alpha-\beta) \quad \color{#ef5350}{◀図から\angle \mathrm{AOB} = \alpha -\betaですね！}\\
&\small = 2-2\cos(\alpha-\beta) \quad \cdots ②\\
\end{split}

①, ②はどちらも線分\(\small \mathrm{AB}\)の2乗を表していることから、互いに等しいので

\begin{split}
&\small 2-2\cos(\alpha-\beta)=2-2(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)\\
&\small ∴ \space \cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\\
\end{split}

これで、（b2）が示せました。

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なかなか思いつきそうにない証明方法ですが、
この方法が一番シンプルで分かりやすいと思います。

sin(α-β)の証明｜正弦の加法定理

（a2）の証明は、（b2）を少し式変形することで示せます。
具体的には（ b2）の式中にある \(\small \alpha\) を \(\small \displaystyle \frac{\pi}{2}+\alpha\) に置き換えれば（a2）になります。

では、実際に置き換えて確かめてみましょう。

\begin{split}
&\small \cos\left(\color{#ef5350}{\frac{\pi}{2}+\alpha}-\beta\right)=\cos\left(\color{#ef5350}{\frac{\pi}{2}+\alpha}\right)\cos\beta+\sin\left(\color{#ef5350}{\frac{\pi}{2}+\alpha}\right)\sin\beta\\
\end{split}

ここで、

\begin{split}
&\small \displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)=-\sin\theta\\
&\small \displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)=\cos\theta\\
\end{split}

の関係式を使って

\begin{split}
&\small \displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}+(\alpha-\beta)\right)=-\sin(\alpha-\beta)\\
&\small \displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha \right)=-\sin\alpha\\
&\small \displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\cos\alpha\\
\end{split}

と変形することで

\begin{split}
\small -&\small \sin(\alpha-\beta)=-\sin\alpha \cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\\
\small \Leftrightarrow \space &\small \sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha \cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\\
\end{split}

ということで、意外と簡単に（a2）が示せました。

tan(α-β)の証明｜正接の加法定理

最後は\(\small \tan(\alpha-\beta)\)（c2）を証明していきます。

\(\small \displaystyle \tan(\alpha-\beta) = \frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos(\alpha-\beta)}\)と変形すれば、これまでに示した（a2）、（b2）の関係式を代入することができます。

\begin{split}
\small \displaystyle \tan(\alpha-\beta) &\small \displaystyle = \frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos(\alpha-\beta)}\\
&\small \displaystyle = \frac{\sin\alpha \cos\beta-\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta}\\
\end{split}

ここで、分母分子を \(\small \cos\alpha\cos\beta\)（分母の1項目）で割り算すると

\begin{split}
\small \displaystyle （与式） &\small \displaystyle = \frac{\dfrac{\sin\alpha \cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta}-\dfrac{\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}}{1+\dfrac{\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}}\\
&\small \displaystyle = \frac{\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}-\dfrac{\sin\beta}{\cos\beta}}{1+\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\dfrac{\sin\beta}{\cos\beta}}\\
&\small \displaystyle =\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}\\
\end{split}

これで、（c2）も無事、示すことができました。

加法定理の残りの公式はβ→-βに置き換え

残りの（a1）, （b1）, （c1）はこれまでに示した（a2）, （b2）, （c2）の\(\small \beta\)を\(\small -\beta\)に置き換えることで簡単に示すことができます。

sin(α+β)の証明

（a2）の\(\small \beta\)を\(\small -\beta\)に置き換えると

\begin{split}
\small \sin(\alpha-(-\beta)) &\small = \sin\alpha\cos(-\beta)-\cos\alpha\sin(-\beta)\\
\small \Leftrightarrow \space \sin(\alpha+\beta) &\small = \sin\alpha\cos(-\beta)-\cos\alpha\sin(-\beta)\\
\end{split}

ここで、右辺に

\begin{split}
&\small \sin(-\beta)=-\sin\beta \quad ◀奇関数\\
&\small \cos(-\beta)=\cos\beta\quad ◀偶関数\\
\end{split}

を用いることで

\begin{split}
\small \sin(\alpha+\beta) &\small = \sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\cdot(-\sin\beta)\\
\small ∴ \space \color{#ef5350}{\sin(\alpha+\beta)} &\small \color{#ef5350}{= \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}\\
\end{split}

これで、（a1）が示せました。

cos(α+β)の証明

同様に、（b2）の\(\small \beta\)を\(\small -\beta\)に置き換えることで（b1）を示すことができます。

\begin{split}
\small \cos(\alpha-(-\beta)) &\small = \cos\alpha\cos(-\beta)+\sin\alpha\sin(-\beta)\\
\small ∴ \space \color{#ef5350}{\cos(\alpha+\beta)} &\small \color{#ef5350}{= \cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}\\
\end{split}

tan(α+β)の証明

同様に、（c2）の\(\small \beta\)を\(\small -\beta\)に置き換えることで

\begin{split}
\small \tan(\alpha-(-\beta)) &\small \displaystyle =\frac{\tan\alpha-\tan(-\beta)}{1+\tan\alpha\tan(-\beta)}\\
\small \Leftrightarrow \space \tan(\alpha+\beta) &\small \displaystyle =\frac{\tan\alpha-(-\tan\beta)}{1+\tan\alpha\cdot (-\tan\beta)} \quad \cdots [*1]\\
\small ∴ \space \color{#ef5350}{\tan(\alpha+\beta)} &\small \displaystyle \color{#ef5350}{=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}}\\
\end{split}

となり、(c1)を示すことができます。

*1：補足
\(\small \tan(-\beta)=-\tan\beta\)は
\begin{split}
\small \displaystyle \tan(-\beta) &\small \displaystyle =\frac{\sin(-\beta)}{\cos(-\beta)}\\
&\small \displaystyle =\frac{-\sin\beta}{\cos\beta}\\
&\small \displaystyle =-\tan\beta\\
\end{split}
と考えれば簡単に導くことができます。
できるだけ覚える公式は減らしていきましょう！

加法定理の覚え方｜暗記のコツ・語呂合わせ

証明を通して、加法定理が成り立つ理由は理解できたと思いますが、これを毎回導出するのは現実的ではないですよね？

そこで、本章では加法定理の覚え方を紹介していこうと思います。

語呂合わせで覚える

暗記の王道と言えば「語呂合わせ」ですよね。
ここでは、有名な語呂合わせと個人的に覚えている語呂合わせの2種類を紹介します。

① 有名な語呂合わせ

まずは、有名な語呂合わせの覚え方を紹介します。

✓ 加法定理の語呂合わせ

（a1） \(\small \sin(\alpha\color{darkorange}{+}\beta)= \color{red}{\sin}\alpha\color{blue}{\cos}\beta\color{darkorange}{+}\color{blue}{\cos}\alpha \color{red}{\sin}\beta\)
　咲いたコスモス、コスモス咲いた
　※符号は括弧内と同じ

（b1） \(\small \cos(\alpha\color{darkorange}{+}\beta)= \color{blue}{\cos}\alpha\color{blue}{\cos}\beta\color{darkorange}{-}\color{red}{\sin}\alpha\color{red}{\sin}\beta\)
　コスモスコスモス、咲いた咲いた
　※符号は括弧内と逆

（c1） \(\small \displaystyle \tan(\alpha+\beta)= \frac{\color{blue}{\tan\alpha}\color{dearkorange}{+}\color{red}{\tan\beta}}{1-\color{blue}{\tan\alpha}\color{red}{\tan\beta}}\)
　1引くタンタン、タン、タ、タン
　※後半の「タン、タ、タン」が分子になることに注意
　※リズムで覚える

✓ 暗記のPoint
・\(\small \sin(\alpha-\beta)\), \(\small \cos(\alpha-\beta)\), \(\small \tan(\alpha-\beta)\)の公式は覚えない。
　（\(\small \beta\)を\(\small -\beta\)に置き換えればすぐ導けるから）
・右辺の角度部分は\(\small \alpha\), \(\small \beta\)の順番であることだけ覚えておく。
・\(\small \tan(\alpha+\beta)\)の公式は証明で解説した通り簡単に導出できるので、
　できたら覚えるでOK。

② その他の語呂合わせ

参考までに私が使っている覚え方も紹介しておきます。

✓ 加法定理の語呂合わせ

（a1） \(\small \sin(\alpha\color{darkorange}{+}\beta)= \color{red}{\sin}\alpha\color{blue}{\cos}\beta\color{darkorange}{+}\color{blue}{\cos}\alpha \color{red}{\sin}\beta\)
　サインコサイン、コサインサイン
　（パ、パワープレー…）
　※符号は括弧内と同じ

（b1） \(\small \cos(\alpha\color{darkorange}{+}\beta)= \color{blue}{\cos}\alpha\color{blue}{\cos}\beta\color{darkorange}{-}\color{red}{\sin}\alpha\color{red}{\sin}\beta\)
　コスコス、マイナス、サインサイン
　（やっぱりパワープレー…）

たぶん、多くの人にとっては、①の語呂合わせの方が印象に残るし覚えやすいでしょう。
ただ、あえて紹介したのは『結局は自分が覚えやすい語呂合わせで覚えればいい』と思うからです。

ネットで検索するといろいろな語呂合わせが載っているので、
自分にあったものを探すもよし、自作で編み出すもよしです。

符号を忘れてしまったときの確認方法

語呂合わせで覚える場合、

「咲いたコスモス、コスモス咲いた。あれ？間の符号ってプラスマイナスどっちだっけ？」

といった『ド忘れ』はつきものです。

そんなときは、加法定理に有名角（0°, 30°, 45°, 60°, 90°）を代入することで、簡単に確かめることができます。

例えば、『\(\small \sin(\alpha+\beta)= \sin\alpha\cos\beta\ \color{red}{\fbox ?} \space \cos\alpha\sin\beta\)』 の『？』の符号を忘れてしまった場合を考えてみましょう。

ここで、\(\small \alpha=0°\), \(\small \beta =90°\)を代入してみると

\begin{split}
\small （左辺）&\small = \sin(0°+90°)=1\\
\small （右辺）&\small = \sin 0°\cos 90° \space \color{red}{\fbox ?} \space \cos0° \sin 90°\\
&\small = \color{red}{\fbox ?} \space 1\\
\end{split}

左辺の「1」と右辺の「\(\small \color{red}{\fbox ?} \space 1\)」が一致することから「？」に入る符号は「＋」になることが分かります。

今回は計算を楽にするために、\(\small \alpha=0°\), \(\small \beta =90°\)を選びましたが、\(\small \alpha=0°\), \(\small \beta =60°\)などでももちろん確認ができるので、もし忘れてしまったら
こんな感じで復元できるようにしておくと安心です。

加法定理はいつ使う？｜使いどころを徹底解説

ここでは加法定理の使いどころについて解説します。

有名角の組合せで表せる角の三角関数の値

加法定理は、\(\small \alpha \pm \beta\) のように2つの角の和・差になっていることから、有名角の和・差で表せる角度の三角関数の値を求めるときに使われます。

具体的には、\(\small \sin 75°\)の値は、これまでは有名角にはない角度なので求めることはできませんでしたが、加法定理を使えば

\begin{split}
\small \sin 75° &\small = \sin(30°+45°)\\
&\small = \sin 30°\cos 45°+\cos 30° \sin 45°\\
&\small = \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\\
&\small = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\\
\end{split}

のように求めることができます。

2角の和・差の公式は加法定理で理解できる

三角関数のはじめに、

\(\small \sin(\pi \pm \theta)=\mp \sin\theta\)
\(\small \cos(\pi \pm \theta)=-\cos\theta\)
\(\small \tan(\pi \pm \theta)=\pm \tan\theta\)　　とか…

\(\small \displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{2} \pm \theta\right)=\cos\theta\)
\(\small \displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2} \pm \theta\right)=\mp \sin\theta\)
\(\small \displaystyle \tan\left(\frac{\pi}{2} \pm \theta\right)=\mp \frac{1}{\tan\theta}\)　とか…

たくさんの公式を覚えたと思いますが、これらの公式は加法定理の特殊形です。

そのため、加法定理を覚えていればそこからすぐに計算ができるので
もうこれらの公式は覚えていなくてもOKです！

また、このあとに学習する2倍角の公式や3倍角の公式についても加法定理から導くことができます。
ただし、2倍角の公式は重要度が高いので別で覚えた方が無難です…。

つまり、加法定理は三角関数の多くの公式のもとになる超重要な公式であり
もはや、加法定理さえ覚えてしまえば三角関数の大半の公式は導出できると言っても過言ではないでしょう。

ぜひ、加法定理を覚えることで三角関数の公式を攻略してしまいましょう！

加法定理を使った問題

加法定理で三角関数の値の求め方・解き方

\(\small 15° = 45°-30°\)なので、

\begin{split}
\small \sin 15° &\small = \sin(45°-30°)\\
&\small = \sin 45°\cos 30°-\cos 45° \sin 30°\\
&\small = \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} -\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{1}{2}\\
&\small = \color{red}{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \quad \cdots 【答】}\\
\end{split}

【解答】
　\(\small \displaystyle \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)

\(\small 105° = 45°+60°\)なので、

\begin{split}
\small \cos 105° &\small = \cos(45°+60°)\\
&\small = \cos 45°\cos 60°-\sin 45° \sin 60°\\
&\small = \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{1}{2} -\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\\
&\small = \color{red}{\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4} \quad \cdots 【答】}\\
\end{split}

【解答】
　\(\small \displaystyle \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\)

\(\small 165° = 120°+45°\)なので、

\begin{split}
\small \tan 165° &\small = \tan(120°+45°)\\
&\small \displaystyle = \frac{\tan 120°+\tan 45°}{1-\tan 120°\tan 45°}\\
&\small \displaystyle = \frac{-\sqrt{3}+1}{1-(-\sqrt{3})\cdot 1}\\
&\small \displaystyle = \frac{1-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}} \\
&\small \displaystyle = \frac{(1-\sqrt{3})^2}{1-3}\quad ◀有理化\\
&\small \displaystyle = \frac{4-2\sqrt{3}}{-2}\\
&\small \displaystyle = \color{red}{-2+\sqrt{3} \quad \cdots 【答】}\\
\end{split}

【解答】
　\(\small -2+\sqrt{3}\)

\(\small \displaystyle \frac{7}{12}\pi\)を度数法に直すと\(\small \displaystyle \frac{7}{12}\times 180° = 105°\)なので、
\(\small 105° = 45°+60°\)に分解して考えればよいことが分かります。

【補足】
弧度法を度数法に直す場合は、\(\small \pi\)を180°に置き換えれば簡単に求めることができます。

弧度法に直すならば、\(\small \displaystyle \frac{7}{12}\pi = \frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3}\)です。

よって、

\begin{split}
\small \displaystyle \sin \frac{7}{12}\pi &\small = \sin\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3} \right)\\
&\small = \sin \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{3}+\cos \frac{\pi}{4} \sin \frac{\pi}{3}\\
&\small = \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{1}{2} +\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\\
&\small = \color{red}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \quad \cdots 【答】}\\
\end{split}

【解答】
　\(\small \displaystyle \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)

本記事のまとめ

今回は三角関数の加法定理の公式一覧と証明方法、覚え方と使い方（問題の解き方）を解説しました。

三角関数が難しい理由の一つに「圧倒的な公式の多さ」が挙げられますが
その中でも、加法定理（特にsinとcos）が一番重要と言っても過言でありません。

記事の中でも解説した通り、加法定理を覚えておけば、
他の三角関数の細かい公式が簡単に導けるようになるので
それらの公式が暗記不要になります。

このように、加法定理の暗記は公式そのものに加えて他の公式の暗記にもつながると思えば
かなりコスパのいい暗記になるので、語呂合わせなどの工夫で頑張って覚えてしまいましょう！

今回は以上です。お疲れさまでした！