順列の解き方｜場合の数（隣接する・しない）と数字の並べ方をわかりやすく解説

本記事では、順列における場合の数の求め方をテーマに、「隣接する・しない並べ方」や「数字の並べ方」の解き方をわかりやすく解説します。

順列の問題では、

• どう考えればよいかわからない
• 抜け漏れなく数え上げる方法が知りたい
• 隣接条件のある問題が苦手

といった悩みを持つ人も多いのではないでしょうか。

この記事では、基本的な考え方から具体的な解き方までを整理して説明しているので、順列や場合の数が苦手な方でも理解できる内容になっています。ぜひ最後までご覧ください。

順列とは？場合の数の基本をわかりやすく解説

順列の意味（場合の数との関係）

はじめに、今回のメインテーマである「順列」について説明しておきます。「順列」とは一言でいうと、「順番を付けて並べる」ことです。例えば、「1、2、3」の3枚のカードを順番に並べることが順列にあたります。

ここで一つ、誤解してほしくない重要なポイントがあります。それは、順列とは計算方法の名前ではないということです。そのため、必ずしも\(\small {}_m \mathrm{P}_n\)のような計算をしなければ解けないわけではありません。この点はしっかり押さえておきましょう。

順列と聞くと、「あのPを使った計算をするやつか……」と苦手意識を持ち、途端に難しく考えてしまう人もいます。しかし、計算で考えるのが難しければ、基本に立ち返って「樹形図をかく」方法で通り数を求めてもよいわけです。樹形図で考えていくうちに、実は自然と計算方法も理解できるようになっていきます。

順列の具体例（並べ方の基本）

順列とは「並べ方」であると説明しました。数学の問題では、何を並べるかによっていくつかの種類があります。例えば、「人を並べる」「数字を並べる」「アルファベットを並べる」などが典型的です。

れだけを聞くと、「順列って、何かを順番に並べるときしか使えないんだ」と思う人もいるかもしれません。しかし、その考え方は半分正解で、半分不正解です。正確には、「順番に並べる」という考え方が当てはまるものも、順列として扱うことがあります。

具体的には、「ある条件を満たす整数の個数を求める問題」や、「アルファベット順に並べたときに何番目に来るかを求める問題」、「領域に色を塗るパターン数を求める問題」なども、順列に関連する問題として考えることができます。これらの問題では、実際に何かを並べているわけではありませんが、便宜的に「数字やアルファベット、色を並べる」と考えることで解くことができます。このように便宜的に並べて考えることで順列として場合の数を計算することができます。

今回は、「人を並べる問題」や「数字を並べる問題」について、この後詳しく解説していきます。

順列公式の計算方法｜場合の数を求める基本パターン

順列公式の計算方法（mPn・階乗の考え方）

具体的な問題の解説に入る前に、まずはこれだけは知っておいてほしいという順列公式の計算方法を2つだけお伝えしておきます。

では、2つのポイントについて解説していきます。この2つは順列の問題で頻出の考え方なので絶対に覚えておきましょう！

mPnの意味・計算方法

\(\small {}_m \mathrm{P}_n\)は、「m個の中からn個を選んで1列に並べる通り数」という意味になります。例えば、\(\small {}_4 \mathrm{P}_3\)は、「4個の中から3個を選んで1列に並べる通り数」を意味します。

ここで、4個の中から3個を選んで1列に並べる通り数を具体的に求めてみましょう。

考えやすいように、4つのものをA、B、C、Dとします。この中から3個を選んで並べるとき、

まず1個目は、A～Dの4つの中から選べるので4通りあります。
次に2個目は、すでに1つ選んでいるため、残りの3つから選ぶので3通りです。
最後に3個目は、残りの2つから選ぶので2通りとなります。

したがって、選び方の総数は \(\small 4 \times 3 \times 2=24\) 通りと求められます。つまり、\(\small {}_4 \mathrm{P}_3 =24\)が成り立ちます。

\(\small {}_4 \mathrm{P}_3=4 \times 3 \times 2=24\)であることに着目すると、\(\small {}_4 \mathrm{P}_3\)は、“4”から順に1つずつ小さい数を”3″つ掛け合わせることで求められることが分かります。

一般的に、\(\small {}_m \mathrm{P}_n\)は、\(\small m\)から順に1つずつ小さい数を\(\small n\)個かけ算することで計算できます。

階乗の意味・計算方法

階乗は、m個のものをすべて1列に並べる通り数を意味しており、\(\small m!\)と表します。これは、m個の中からm個を選んで並べるということなので、\(\small {}_m \mathrm{P}_m = m!\)が成り立ちます。

例えば、5個のものを1列に並べる通り数を求める場合を考えると、最初は5通りの選び方があり、次は4通り…と順々に減っていき、最終的には残ったもの1つを選んで並べることから、\(\small 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1=120\)通りとなります。つまり、\(\small 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1=120\)が成り立ちます。

このように、階乗は1からその数までの数字を順に掛け合わせることで計算できます。

そのため、基礎知識の2点目、1点目の特殊な場合となります。場合の数を求める問題でよく利用する考え方になるので、しっかり理解しておきましょう。

順列問題の解き方（場合の数の考え方）

ここからは、順列問題で頻出の「人を1列に並べる問題」、「数字を並べる問題」に共通する解き方の方針を徹底解説していきます。

ではそれぞれ説明していきます。

【STEP1】順列の考え方｜区別する・しないの判断方法

順列の問題では、まずはじめに並べるものを区別するのか、区別しないのかを確認しましょう。

多くの問題は区別する場合が多いため、あまり意識していない人も多いと思いますが、この判断を誤ると場合の数を正しく計算することができません。

判断方法は簡単で、問題文から判断できます。

答えは、（1）が1通り、（2）が2通りです。

問題文で注目してほしいのが「見た目が同じ」、「異なる」の部分です。「見た目が同じ」というのは、並べるものを区別しないということを意味しています。逆に、「異なる…」は、並べるものを区別することを意味しています。このように、区別をするか・しないかは問題文中で言い換えられているので、上記のようなキーワードに着目して判断しましょう。

区別する・しないが判断できたら、並べるものに名前を付けるのがおすすめです。問題文中で既に「A、B、Cの3人の生徒が…」のように名前が付けられている場合は不要ですが、つけられていない場合は、自分でアルファベットや数字などを振って区別できるようにしておくと、このあとのSTEPで場合の数を考えやすくなります。

先程の例題であれば、以下のように名前を付けて考えることができます。

【STEP2】順列の公式を使う場合・使わない場合

STEP2は、一見すると順列の問題なのに順列の公式を使うかを見極めるのはなぜかと疑問に感じるかもしれません。順列の問題はあくまで「順番に並べる」問題全般を指すので、中には順列の公式を使わない方が簡単に解ける問題もあったりします。

イメージが湧くように、例題を通して解説していきます。

この例題は、「AがBより左にいる」という条件があるため、順列の公式（\(\small {}_m \mathrm{P}_n \)・階乗）を使って計算しようとすると少し複雑です。このような場合は、無理に順列の公式で考えるのではなく、樹形図を使って全パターンを洗い出して条件に合致する場合の数を求める方が簡単です。

実際に樹形図を使って考えると、以下のように3通り…【答】が条件を満たすことが簡単にわかります。

遭遇する頻度は高くないと思いますが、たまにこういう問題も混ざっているので、必ずしも順列の公式を使わなくてはいけないわけではないことは頭の片隅に置いておきましょう。

【STEP3】順列の公式の使い方｜並べ方を箱で整理する方法

STEP2で順列の公式を使うと判断できたら、順列の公式（\(\small {}_m \mathrm{P}_n \)・階乗）を使っていきます。計算自体は、順列公式の計算方法（mPn・階乗の考え方）で解説した考え方を使います。

ただし、実際の問題では純粋に\(\small m\)個の中から\(\small n\)個を選んで1列に並べるだけのケースは稀です。多くの場合、一見すると並べる問題には見えない状況を、「順番に並べる」と考え直して、順列の公式を適用する必要があります。このように順列の考え方に置き換える際に有効なのが、「箱」を使うという考え方になります。

では、今回も具体例で解説していきます。

この問題は、5人の中から「部長、副部長」の2人を選ぶ場合の通り数を求める問題になっています。このような場合に、部長の箱と副部長の箱を作って、その箱に5人の部員から2人を選んで入れるという考え方をすることで、2人を箱の中に並べる順列の問題として考えることができます。

大事なのは、「入れ物」を作ってあげてそこに並べていくというイメージを持つことです。

あとは、順列の公式を使って、5人から2人を選んで箱に並べる場合の数なので、\(\small {}_5 \mathrm{P}_2 = 5\times4 = \color{red}{20}\)通り…【答】と求めることができます。

パターン別｜順列問題の解き方

ここからは、解説で学んだことをパターン別の問題を通して確認していきましょう。

【問題1】交互に並べる順列

まずは、STEP1として区別するか・しないかを確認します。男子3人、女子2人はそれぞれ別々の人ですから区別して並べる必要があります。ここでは、男子をA、B、C、女子をD、Eとしておきましょう。

次にSTEP2として、順列の公式が使えそうかを考えます。今回は人を並べる問題なので、順列の公式を使って解いていきましょう。

最後はSTEP3です。並べ方の条件である「男女男女男」の箱を作って、そこに並べてあげます。

ここで、男子を箱に入れることに注目すると、誰がどの箱に入っても問題ないので、3人を1列に並べる全通り数を考えればよいので階乗の考え方が使えます。よって、その通り数は、3!=6通り…①です。

女子についても同様に考えると、2人を1列に並べる全通り数は、2!=2通り…②です。

①，②から、男女交互の並び方は、6×2=12通り…【答】と求まります。

【問題2】隣り合う順列（隣接する）

今回は問題文中に男子と女子の名前が区別されているのでSTEP1は省略できます。

STEP2として順列の公式を使えるかの判断ですが、問題1と同様に、隣接する/しないように並べる問題も順列の公式で求めることができます。

では、ここからが本題です。「男子A、Bが隣り合う」が並べ方の条件なので、「男子A、Bセットの箱」を作ります。

この箱の中にA、Bを入れ、それ以外の5人は1列に並べると考えればよいでしょう。

まずは、箱の中身の並べ方ですが、A、Bの2人を並べる全通り数は 2!=2通り…①。

次に、男子A、Bセットの箱とC～Gの5人の合計6個のものを1列に並べる全通り数と考えることができるので、6!=24通り…②。

よって、積の法則から①と②の場合の数をかけ合わせて、2×24=48通り…【答】と求めることができます。

【問題3】隣り合わない順列（隣接しない）

STEP1、2は問題2と同様なので割愛します。

STEP3からですが、「女子が隣り合わない」というのが並べ方の条件です。この条件を満たすように並べるためには、まず男子を並べた後に、その隙間に女子を並べると考えれば女子が隣り合わない場合の数を求めることができます。

男子を並べるための箱と女子を並べるための隙間を下図のようにセットします。

まず、青色の箱に男子4人を並べる全通り数は4!=24通りです。次に、オレンジ色の5箇所の隙間の中から女子E、F、Gが入る3箇所を選んで並べればよいので、\(\small {}_5 \mathrm{P}_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60\)通りと求めることができます。よって、全体の並べ方は、24×60=1440通り…【答】となります。

【問題4】数字の並べ方（0を含む整数・倍数）

STEP1は既に数字が区別されていて、STEP2も数字を並べる問題なので一旦順列で解く方針で考えていきしょう。

STEP3は、3桁の整数を考えたいので、百の位、十の位、一の位の箱を作ります。

ここで、百の位には0は来ない（「023」みたいな数字となり3桁の整数として不自然）ことに注意すると、着の位の箱には0以外の1、2、3の3つの数字の中から1つを選べばよいので\(\small {}_3 \mathrm{P}_1=3\)通り…①。

十の位と一の位の箱には、先程置くことができなかった0と百の位で選ばれなかった2つの数字の合計3つから2つを選んで並べればよいので、\(\small {}_3 \mathrm{P}_2 = 3 \times 2 = 6\)通り…②。

よって、①、②より全体の通り数は、3×6=18通り…【答】となります。

STEP1は（1）と同様なので割愛します。STEP2は「3の倍数は、各桁の和も3の倍数になる」という性質を使って並べ方を考えることになりますが、各桁の和を考慮する必要があるため、順列の公式を使って考えるのは難しいと判断してしまうかもしれません。

しかし、数え方を少し工夫することで順列の公式を使って考えることができるので今回はその解法で解説します。

箱の作り方は（1）同様、百の位、十の位、一の位の3つの箱を考えます。今回はそれぞれ箱を、各桁の和が3の倍数になるように埋めていきます。例えば、123の各桁の和は「1+2+3=6」となり、6は3の倍数なので、123も3の倍数だと判断できます。この性質をもとに3桁に設定され得る数字のパターンを洗い出していきます。

パターンを洗い出すときは抜け漏れを防ぐため、以下の2点を意識して洗い出しを行いましょう。

1点目の規則的に洗い出すについては、数字が小さい順に洗い出すのがおすすめです。（〇,×,△）という3つの数字の組合せを洗い出す場合は、〇＜×＜△のように左側が一番小さい数になるように洗い出しを行うと漏れなく重複なく洗い出せます。

2点目は、条件を満たす3桁の数字の組合せさえ分かれば、それらの数字を並べた通り数は階乗の計算で求められるため、組合せが把握できればOKです。

では、まずは各桁の和が「3」になる組合せを数字が小さい順に洗い出します。このとき、組合せなので百の位に0が来ないという制約は一旦忘れてOKです。すると、(0,1,2)のみが該当します。ちなみに、(1,0,2)などは数字が小さい順というルールに反しているのでNGです。

次に各桁の和が「6」になるパターンを考えると、(1,2,3)が見つかります。

次の3の倍数は、各桁の和が「9」になる場合ですが、各桁が0～3までなので和が9になることはないので以上で組合せの洗い出しは終了です。

さて、これまでの結果を整理すると今回3の倍数になる桁の組み合わせは、(0,1,2)と(1,2,3)の2パターンあることが分かりました。ここからは、並べ方の通り数を求めていきます。

まず(0,1,2)は、百の位に0は設定できないので、1、2の中から1つを選ぶ通り数を考えればよく\(\small {}_2 \mathrm{P}_1 =2\)通り。残りの十の位と一の位は残りの2つの数字を並べればいいので2!=2通り。よって全体の通り数は、2×2=4通り…①。

次に(1,2,3)は3つの数字から3つを選んで百の位、十の位、一の位に並べればよいので、3!=6通り…②。

①、②より、和の法則から、4+6=10通り…【答】。

【問題5】完全順列

問題文中に果物の名前でそれぞれが区別されていますが、このあと並べ方を数えるときに名前だと長くて煩雑になるため、みかん、りんご、ぶどう、いちごをそれぞれ1、2、3、4としておきます。

次に、STEP2の順列の公式が使えそうかを考えます。今回考える順列は、1の箱には1以外が入り、2の箱には2以外が入り…という条件を満たす順列です。

まずは全うに順列の公式で考えてみると、まず1の箱に入れることができるのは2～4の3通り。次に、2の箱に入れることができるのは、1の箱に2を入れた場合は、残りの1、3、4の3通りですが、1の箱に入れたのが2以外（3か4）の場合は、2は入れることができないので2通り…のように、場合分けがかなり複雑になることが分かります。

このような場合は、一定の数字の中から選んで並べる手法である順列の公式とは相性が悪いので、樹形図をかいてパターンを洗い出すのがよいでしょう。樹形図をかくと以下のようになります。

よって、9通り…【答】.

本記事のまとめ

今回は、順列の解き方として「人を一列に並べる問題（隣接する・しない）」「数字の並べ方」など、場合の数の基本的な考え方を解説しました。

順列の問題にはさまざまなパターンがありますが、どの問題にも共通する解き方として、

・区別するかしないかを意識して名前を付ける
・順列計算（mPnや階乗）が使えるか判断する
・条件に応じて箱を作って並べる

という3STEPで考えることが重要です。

この流れを意識することで、「隣接する・しない問題」や「数字の並べ方」といった応用問題でも、迷わず整理して解けるようになります。

順列は慣れが大切な単元なので、例題を繰り返し解きながら、この3STEPの考え方をしっかり身につけていきましょう。

まずは本記事で扱った問題をもう一度解き直して、「なぜその解き方になるのか」を説明できる状態を目指すのがおすすめです。

順列に関する理解をさらに深めたい方は、他の記事もぜひ参考にしてください。

今回はここまでです。お疲れさまでした！