【暗記不要】2次関数の軸/頂点の公式の攻略法

今回は、2次関数の軸と頂点を求める公式について理解していきましょう！

はじめに
★本記事で扱う公式
1. 2次関数の軸と頂点の公式
2. 公式のスペック
★公式の解説
1. 軸、頂点の座標の導出方法
まとめ

はじめに

この記事では、数学で挫折してしまう人の多くが悩みとして抱えている「公式が多すぎて覚えられない…」という悩みに対して、公式を極力覚えなくてもよい方法を伝授します。結論、覚える量を減らすために重要なことは以下3つです。

公式を丸暗記しない
公式を忘れたとしても導けるようにする
覚える部分と覚えない部分を見極める

多くの公式は覚えなくても、少し考えれば導けます。なので、公式を導くために必要な最低限の知識だけ覚えておけばOKです。これだけでも覚える量が減ってだいぶ楽になると思います。

また、公式の中には覚えなくてはいけない公式と覚えてはいけない公式の2種類があります。
覚えなくてはいけない公式とは、式を導くのに時間がかかるものや導く方法自体が難しいものです。そのような公式は逆に公式だけ覚えてしまった方が効率的です。
一方で覚えてはいけない公式とはその逆で、導くことが簡単で理解してしまえば当たり前すぎてあえて公式化する必要がないものです。簡単に導けるようなものは、結果ではなく根幹の知識だけ理解しておけばOKというわけです。

では、今回も覚える公式を減らしていきましょう！

★本記事で扱う公式

2次関数の軸と頂点の公式

2次関数$\small y=ax^2+bx+c$の頂点の座標は、 $$\left( -\frac{b}{2a},-\frac{b^2-4ac}{4a} \right)$$ 軸は、 $$x=-\frac{b}{2a}$$

公式のスペック

使用頻度

低

1

2

3

高
導出難易度

易しい

1

2

3

難しい
暗記/理解

暗記重視

1

2

3

理解重視

★公式の解説

軸、頂点の座標の導出方法

2次関数の軸と頂点の公式

2次関数$\small y=ax^2+bx+c$の頂点の座標は、 $$\left( -\frac{b}{2a},-\frac{b^2-4ac}{4a} \right)$$ 軸は、 $$x=-\frac{b}{2a}$$

ではここからは、2次関数の頂点と軸の公式をを導くために覚えておくべきポイントをレベル別に解説していきます。

初級編：これだけ覚えろ

■初級編：これだけ覚えろ！
軸の公式は
$$x=-\frac{b}{2a}$$

私自身は、軸の公式$\small x=\frac{b}{2a}$だけ覚えています。理由は、「軸＝頂点の$\small x$座標」なので、軸さえ覚えておけば頂点の$\small y$座標は、$\small x$座標の値を代入すれば求められるからです。なので頂点の$\small y$座標の公式は覚えなくてよいです（使うこともないです）。もし、テストで聞かれたら、$\small y=ax^2+bx+c$の$\small x$に、$\small x=\frac{b}{2a}$を代入して頑張って計算しましょう。

軸の公式を覚えるのは、個人的にはこれくらいなら覚えられるかなというのと、2次関数の分野では軸を求めることが多いため、いちいち導く時間と手間を考えると覚えてしまった方が楽かなと思っています。

この記事を見てくれている方の多くは極力覚える公式の数を減らしたい人が多いと思うので、さらに覚える量を減らす方法を教えます！

中級編：さらに覚える量を減らしたい人向け

■中級編：これだけ覚えろ
平方完成のイメージと「軸＝△」だけ覚える。

平方完成の公式は$\small y=a(x-p)^2+q$ですが、上記のような大体のイメージで押さえておけば頂点や軸を導き出すうえでは十分です。そして、△が軸ということだけ覚えておけば、あとは2次関数$\small y=ax^2+bx+c$から軸の公式を導けます。軸が求まれば、初級編でも説明した通り頂点の座標も求まります。

～導き方～
$\small y=ax^2+bx+c$を、括弧の2乗の形にするために、
$$
\begin{equation}
\begin{split}
y&=ax^2+bx+c\\
&=\color{red}a\left(x^2+\frac{b}{\color{red}a}x\right)+c\\
&=a\left(x+\frac{b}{\color{red}2a}\right)^\color{red}2+\cdots \\
&\qquad \text{※式変形は補足参照}
\end{split}
\end{equation}
$$
目的は軸を求めるために平方完成後の「△」の部分だけが分かればよいので、括弧2乗の後ろ部分の計算は無視してokです。あとは、平方完成のイメージ、$\small y=(x-△)^2+□$と見比べることで、軸である△が
$$ x=-\frac{b}{2a}$$
とわかります。

★補足★
括弧の2乗、$\small (x+y)^2$の展開公式では、真ん中の項が2倍されることから、逆に括弧の2乗を作るためには2で割っておく必要があります。
$$(x+y)^2=x^2+\color{red}{2xy}+y^2$$

上級編：極限まで覚える量を減らしたい人向け

■上級編：これだけ覚えろ
$$y=ax^2$$

の軸は$\small x=0$、頂点は原点。

最悪2次関数の原点である、$\small y=ax^2$だけ覚えていれば軸や頂点の公式は覚える必要もありません。どういう意味かはこの後しっかり説明します。

このグラフを$\small x$方向に$\small p$、$\small y$方向に$\small q$平行移動した場合、当たり前ですがその頂点は$\small (p,q)$、軸は$\small x=p$になります。

そして、その時の2次関数の式は、
$$
\begin{equation}
\begin{split}
&x→\color{red}{x-p}\\
&y→\color{blue}{y-q}
\end{split}
\end{equation}
$$
に置き換えればよいので、
$$
\begin{equation}
\begin{split}
&y=ax^2\\
→\quad &\color{blue}{y-q}=a(\color{red}{x-p})^2\\
⇔\quad &y=a(x-p)^2+q
\end{split}
\end{equation}
$$
となります。これがまさに平方完成した式になっています。逆に言うと、このような背景で平方完成したときの$\small x=p$が軸で、$\small (p,q)$が頂点だと言ってたわけです。