2次不等式の簡単な解法をパターン別に解説（基本編～すべての実数・解なしなど応用編まで）

　本記事のレベル

2次不等式は、グラフをかいて、x軸の上か下かを見極めろ！

以下の2次不等式を解け。
(i)\(\small x^2-7x+10>0\)
(ii)\(\small x^2-4x+3≦0\)

(i)2次不等式を解く際には2次関数のグラフを描くとわかりやすいです。では、なぜ？というお話をします。
一旦、2次不等式は忘れて\(\small y=x^2-7x+10\)の2次関数を考えます。このグラフは書けますか？
ここではあまり詳しく話しませんが、平方完成すると、\(\small y=(x-\frac{7}{2})^2-\frac{9}{4}\)となり、頂点が\((\small \frac{7}{2},-\frac{9}{4})\)などの情報が分かります。平方完成、地味に面倒くさいですよね。でも、安心してください。今回は、頂点の座標を求める必要はありません。必要なのは、x軸との交点の座標です。どうやって求めますか？グラフがx軸と交わるときは、必ずy座標は0ですよね？なので、\(\small y=x^2-7x+10\)にy=0を代入してxを求めてあげれば、x軸との交点の座標が求まります。\(\small x^2-7x+10=0\)を解く…あれ、よく見ると、これは2次方程式ですよね？つまり、2次関数でx軸との交点を求めたい場合は、2次方程式を解けばよいことが分かります。
$$\small x^2-7x+10=0$$ $$\small (x-2)(x-5)=0$$ $$\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\small x=2,5　※これがx軸との交点$$
なので、下図のようなグラフが書けます。このグラフがめちゃくちゃ大事です！


ここで、本題の2次不等式、\(\small x^2-7x+10>0\)を見てみましょう。2次不等式の左側は、今グラフを描いた、2次関数ですね。そしてこの2次関数は、\(\small y=x^2-7x+10\)なので、\(\small x^2-7x+10>0\)は、 $$\small y>0$$ と簡単に表すことができます。では、この式は何を表しているでしょうか？不等式をそのまま言葉に訳すと、
「yは0より大きい」と読めます。つまり、2次関数、\(\small y=x^2-7x+10\)のyが0より大きい部分ですよ、ということです。式だと全然意味が分かりませんが、グラフを見ると、yの値がが0より大きい部分は、すなわちx軸の上側だとすぐにわかりますね。色付けするならば、下の図の赤の部分です。


この図から、xの範囲は、 \(\small x<2,5<x\space\cdots\)(答)
(ii)では、こちらもグラフを描くことから始めましょう。まずは2次関数、\(x^2-4x+3=0\) をといて、x軸との交点を求めます。
$$x^2-4x+3=0$$ $$(x-1)(x-3)=0$$ $$x=1,3$$ よって、グラフは左下図になります。


あとは、x軸の上なのか、下なのかを見極めるだけですね。今回の問題は、\(\small x^2-4x+3<0\)なので、左側の2次関数を\(y\)として見てあげると、\(\small y≦0\)、訳すと、「yは0以下」なので、yの値が0以下なのは、x軸の下側ですね。よって、右上図で赤くなっている部分が答えなので、\(\small 1 ≦ x ≦ 3\space \cdots\)(答)

以下の2次不等式を解け。
\(\small -x^2+x+6>0\)

解き方は2パターンあります。まずは、例題1と同じように、x軸との交点を求めていきます。
$$\small -x^2+x+6=0$$ $$\small x^2-x-6=0$$ $$\small (x+2)(x-3)=0$$ $$\small x=-2,3$$
図としては、右のようになります。今回は、\(x^2\)の前にマイナスがついているので 例題1の時とは上下がさかさまになるんでしたね。忘れていた人は2次関数の性質をおさらいしておきましょう！

さて、2次不等式に戻って、x軸より上か下かを確認しましょう。
\(\small -x^2+x+6>0\)なので、\(\small y>0\)を見ると、x軸の上側なので、答えは、赤色の範囲。
$$\small -2 ≦ x ≦ 3\space \cdots(答)$$
このように、解くこともできますが、上下がさかさまになるところが、忘れてしまう可能性もあり、毎回上下を意識して解くのも大変ですよね。なので、個人的には、\(x^2\)の前にマイナスがついている場合は、初めに消すことをお勧めします。消し方は、全体にマイナスを掛け算して、\(\small x^2-x-6<0\)とするだけです。この時に、不等式の向きが変わるので注意しましょう。あとは、例題1と同じように図を描くと同じ答えになります。図を参考までに載せておきます。今回は不等号の向きが変わってるので、y<0でx軸の下側が求める範囲になっています。

以下の2次不等式を解け。
\(\small x^2+x-3>0\)

同じように解いていきましょう。まずはx軸との交点を求めるために2次方程式を解くんでした。
今回は因数分解ができないので、解の公式を使います。すると、\(x=\frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2}\)と求まるので、ごつい解 ですが、この2点がx軸との交点です。グラフは慣れてきたら書かなくてもOKです。今回の問題では\(\small y > 0\)なので、x軸の上側が求める範囲なので、2つの範囲に分かれるパターンですね。
よって、\(\small x < \frac{-1 – \sqrt{13}}{2}, \frac{-1 + \sqrt{13}}{2} < x \space \cdots\)(答)

以下の2次不等式を解け。
(i)\(\small x^2+4x+4>0\)
(ii)\(\small x^2-8x+16<0\)
(iii)\(\small x^2+6x+9≦0\)
(iv)\(\small x^2-3x+10>0\)

ここからは特殊なパターンです。引っかからないように注意しましょう。 (i)2次方程式、\(\small x^2+4x+4=0\)を解くと、\(x=-2\)となります。普通、2次方程式の解は2個（交点が2個あるので）ですが、今回みたいに1個だけになる場合があります。この時は、グラフとしては、x軸との交点が1個のみということなので下図のように2次関数はx軸に接している状態となります。
(ii)この問題も考え方は(i)と同じです。まずは2次方程式、\(\small x^2-8x+16=0\)を解いて、\(\small x=4\)と解が1つになっているので、x軸に接しているパターンだとわかります。そして、今回の求める範囲をグラフで書くと、下図の赤い部分になります。
ただ、2次関数上に、赤い範囲に該当する点はありません。\(\small x=4\)がx軸上にあるから該当するのでは？と思った人は、もう一度不等号を見てみましょう。今回は、0より小さい(\(\small y<0 \))なのでx軸上は含まれません。よって、答えは、解なし。\(\cdots\)(答)です。

(iii)2次方程式、\(\small x^2+6x+9\)の解は\(\small x=-3\)です。グラフは、下図のようになり、今回は不等号にイコールが含まれているので、x軸を含む下側が該当範囲になります。