ドモルガンの法則とは？公式・ベン図・覚え方＋和集合・共通部分・補集合をまとめて解説【問題付き】

数学Ⅰの「集合」の分野で、多くの高校生がつまずくのが「ドモルガンの法則」です。
公式は覚えられても、「なぜそうなるのか」が分からず、混乱してしまうことはありませんか？

ドモルガンの法則は、「和集合」と「共通部分」の意味を理解することで、自然に納得できる重要な考え方です。

この記事では、集合が苦手な人でも理解できるように、和集合・共通部分の基本から、ベン図や具体例を使ってドモルガンの法則をわかりやすく解説します。
丸暗記に頼らず、本質から理解して、数学の実力をしっかり身につけましょう！

hiroemon

数学教育アドバイザー

学校の授業では教えてくれない「数学の考え方」をわかりやすく解説。少しでも数学の疑問を解決する手助けとなるような情報を発信しています。

実績大学院を主席で卒業（MARCHレベル）
塾講師歴 6年

資格中学・高校教員免許保持
数学 / 理科（物理・化学・生物・地学）

出身千葉県

趣味

#ボルダリング #ラーメン巡り

ドモルガンの法則とは？
1. ドモルガンの法則の定義と公式
和集合・共通部分・補集合とは？意味と違いをわかりやすく解説
ドモルガンの法則をわかりやすく説明
1. ベン図で理解するドモルガンの法則
2. ドモルガンの法則の覚え方とコツ
ドモルガンの法則の練習問題
1. 基本問題｜ドモルガンの法則の利用
2. 応用問題｜ドモルガンの法則を用いた集合の特定
ドモルガンの法則の実用例
本記事のまとめ

ドモルガンの法則とは？

ドモルガンの法則の定義と公式

2つの集合の共通部分や和集合、それらの補集合の関係性を表した公式がドモルガンの法則です。

補足

ドモルガンの法則は3つ以上の集合に対しても成り立ちますが、本記事では高校数学で主に取り扱われる2つの集合の場合で解説します。

具体的な定義・公式は以下の通りです。

Point：ドモルガンの法則

集合 $\small A$, $\small B$について、以下の関係が成り立つ。
①：$\small \displaystyle \color{#ff0055}{\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}}$
②：$\small \displaystyle \color{#ff0055}{\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}}$

この公式だけ見てもどのような意味なのかも分かりにくいため、覚えることも大変です。

実は、ドモルガンの法則はベン図で図示すると非常に理解しやすくなります。そのためには、まずはドモルガンの法則に出てくる、和集合と共通部分、補集合の意味とベン図について理解しましょう。

和集合・共通部分・補集合とは？意味と違いをわかりやすく解説

和集合（A∪B）とは？ベン図と具体例でわかりやすく解説

和集合とは、2つの集合を合計した集合を表します。「和」が「足し算」という意味を持つことからも分かるように、集合を足し算した「合計」を表します。記号では、$\small A \color{#ff0055}\cup B$のように表し、「$\small A$カップ$\small B$」と読みます。コップの形をしているのでイメージしやすいですね。

和集合が表す部分をベン図で確認すると以下の赤色部分になります。

集合はベン図で理解しよう！

集合では言葉で理解しようとすると、人によって解釈がズレたり混乱の原因になります。
一方でベン図を使うことで、どの範囲が含まれるかが一目で理解できるため考えやすくなります。

最後に具体例でも解説します。例えば、

集合$\small A$を「りんごが好きな人」
集合$\small B$を「みかんが好きな人」

とします。このとき、$\small A$と$\small B$の和集合は、「りんごまたはみかんが好きな人全員」になります。つまり、りんごだけが好きな人もみかんだけが好きな人も両方好きな人も和集合に含まれることになります。

このことから、和集合は、$\small A$か$\small B$のどちらか一方に当てはまればOKな集合であることが分かります。

Point：和集合とは？

和集合（$\small A\cup B$）は、$\small A$と$\small B$をあわせた集合のこと。

共通部分（A∩B）とは？ベン図と具体例でわかりやすく解説

共通部分とは、2つの集合の両方に当てはまる（共通する）集合を表します。記号では、$\small A \color{#ff0055}\cap B$のように表し、「$\small A$キャップ$\small B$」と読みます。帽子の形に似ていることからキャップという読み方になっています。

共通部分が表す部分をベン図で確認すると以下の赤色部分になります。

和集合と同じ具体例で解説すると、$\small A$と$\small B$の共通部分は、「りんごとみかんの両方が好きな人」になります。

Point：共通部分とは？

共通部分（$\small A\cap B$）は、$\small A$と$\small B$の両方に当てはまる集合のこと。

補集合とは？ベン図と具体例でわかりやすく解説

$\small A$の補集合とは、$\small A$以外を表す集合です。記号では、$\small \color{#ff0055}{\overline{A}}$のように表し、「$\small A$バー」と読みます。

補集合が表す部分をベン図で確認すると以下の赤色部分になります。

また、同様の具体例で解説すると、$\small A$の補集合 $\small \overline{A}$は、「りんごが好きな人以外」、すなわち、「りんごが好きではない人」になります。

このように、$\small A$の補集合は、「$\small A$ではない集合」であり、否定を表すことが分かります。

Point：補集合とは？

補集合（$\small \overline{A}$）は、$\small A$以外の集合のこと。

和集合と共通部分の違いと使い分け

和集合と共通部分の意味を解説しましたが、ここでお互いの違いについて整理しておきましょう。

和集合と共通部分は、どちらも2つの集合を1つにまとめるという点では似ていますが、まとめ方が異なります。

Point：共通部分と和集合の違い

・共通部分：両方に当てはまる必要あり（重なる部分）

・和集合　：どちらかに当てはまればOK（合わせた部分）

共通部分と和集合の違いはベン図で考えると

・重なる部分が共通部分
・合わせた部分が和集合

のように理解できます。このようにベン図を描いて理解するのがおすすめです。

では、実際に共通部分や和集合を場面ごとにどのように使い分けるかを例題を通して確認していきましょう。

例題

$\small A=\{1, \space 2, \space 3, \space 4,\space 5\}$, $\small B=\{2,\space 4,\space 6\}$とするとき、次の集合を求めよ。
（1）$\small A$または$\small B$の集合
（2）$\small A$かつ$\small B$の集合

（1）は「$\small A$または$\small B$」とあることから、$\small A$か$\small B$のどちらかに当てはまればOKな集合となります。つまり、和集合 $\small A \cup B$を求める問題だと分かるので、$\small A$と$\small B$の要素を合わせて $\small A \cup B =\{1,\space 2,\space 3,\space 4,\space 5,\space 6\}$…【答】となります。

補足：和集合の要素の注意点

集合同士を合わせるときに、共通する要素は1つだけ書けばOKです。理由は、集合の要素は含まれる種類を表したものであり、各種類が何個あるかは気にしないからです。

（2）は「$\small A$かつ$\small B$」とあることから、$\small A$と$\small B$の両方に当てはまる集合となります。つまり、共通部分 $\small A \cap B$を求める問題になるので、$\small A$と$\small B$の両方に含まれる要素を抜き出すことで $\small A \cap B =\{2,\space 4\}$…【答】となります。

例題の集合をベン図で表すと以下のようになります。ベン図を描けば、あせた部分が和集合、重なる部分が共通部分になるので、各集合の要素が分かりやすくなります。

Point：共通部分と和集合の使い分け

・「または」の条件（OR条件）は、和集合
・「かつ」の条件（AND条件）は、共通部分

ドモルガンの法則をわかりやすく説明

ベン図で理解するドモルガンの法則

ここでは、ドモルガンの法則が成り立つ理由を、ベン図で確認していきます。

ドモルガンの法則（再掲）

①と②はいずれも両辺が同じ集合を表す等式であるため、それぞれの式の左辺と右辺をベン図で表し、一致することを確認できればOKです。

まずは①の左辺 $\small \overline{A \cup B}$からベン図にしていきます。$\small \overline{A \cup B}$は『「$\small A$と$\small B$の和集合」の補集合』になっています。ちょっと複雑ですね…。一気に考えると分かりにくいので、まずは「$\small A$と$\small B$の和集合…I」を考えて、その次に「その補集合…II」を考える、のように、I・IIの順で中身から順番にベン図にしていきます。

でははじめに、I：$\small A$と$\small B$の和集合（$\small A \cup B$）から考えます。これはベン図にすると

でした。

次のIIは、この集合の補集合を考えます。補集合の定義から、「$\small A \cup B$以外の集合」を図示すればよいので、

ドモルガンの法則①（左辺）：$\small \overline{A \cup B}$

となります。これがドモルガンの法則①の左辺 $\small \overline{A \cup B}$が表す集合になります。

今度は、ドモルガンの法則①の右辺をベン図にしていきます。$\small \overline{A}\cap \overline{B}$は「$\small A$の補集合と$\small B$の補集合の共通部分」という意味になります。つまり、補集合の定義（～以外）と共通部分（かつ）の定義から言い換えると「$\small A$以外の部分かつ$\small B$以外の部分」という意味になります。

ドモルガンの法則①（右辺）：$\small \overline{A}\cap \overline{B}$

ベン図で描くと紫部分がドモルガンの法則①の右辺 $\small \overline{A}\cap \overline{B}$になります。

よって、ドモルガンの法則①の左辺と右辺のベン図を見比べると表している部分が同じになっていることから、等式が成り立つことが分かります。

等式②についても同様にベン図を描くことで確認できるので、皆さん自身で確認してみましょう。

ドモルガンの法則の覚え方とコツ

ドモルガンの法則をベン図を描いて毎回導出するのは大変ですから、テストに向けては暗記が必要になります。ここでは、覚え方のコツを紹介します。

まず、ドモルガンの法則は「①：和集合の補集合」と「②：共通部分の補集合」の2種類があると覚えましょう。ここを覚えていれば、①であれば「$\small \overline{A \cup B} = \cdots$」、②であれば「$\small \overline{A \cap B}=\cdots$」という関係式であることが導けます。

次にそれぞれの右辺がどうなるかについては、

・バーを3つに分解
・$\small \cap$と$\small \cup$を逆転させる

と式変形できることを覚えておきましょう。例えば、等式①であれば、

\begin{split}
\small \overline{A \cup B}&\small =\overline{A} \overline{\cup} \overline{B} ◀バーを分解　\space [*1]\\
&\small =\overline{A} \cap \overline{B} ◀\cup を逆転して\capに\\
\end{split}

のように導出できます。

*1：補足

実際には$\small \overline{\cup}$という表現はしないので注意してください。ここでは説明の分かりやすさとイメージを掴んでもらうために、あえてこのような表現にしています。

等式②についても同様に、

\begin{split}
\small \overline{A \cap B}&\small =\overline{A} \overline{\cap} \overline{B} ◀バーを分解\\
&\small =\overline{A} \cup \overline{B} ◀\cap を逆転して\cupに\\
\end{split}

と導出できます。

補足：$\small \cup, \cap$を逆転させればよい理由

「バー」という記号は補集合の解説でも触れた通り否定（〜でない、〜以外）を表します。また、和集合を表す$\small \cup$は「または」（OR条件）、共通部分を表す$\small \cap$は「かつ」（AND条件）を意味します。
つまり、$\small \cup$にバーを付けたものは「またはの否定」＝「かつ」を表し、$\small \cap$にバーを付けたものは「かつの否定」＝「または」を表します。
したがって、バーを外す際には、$\small \cup$と$\small \cap$が入れ替わることになります。

Point：ドモルガンの法則の覚え方

・左辺は和集合の補集合（$\small \overline{A \cup B}$）と共通部分の補集合（$\small \overline{A \cap B}$）の2種類がある。
・右辺は、バーを分解して、$\small \cup$と$\small \cap$を逆転させることで導出できる。

ドモルガンの法則の練習問題

基本問題｜ドモルガンの法則の利用

ドモルガンの法則の利用

難易度：★☆☆☆

全体集合を$\small U=\{x|x$は$\small 10$より小さい自然数$\small \}$、$\small A=\{1,4,7\}$、$\small B=\{2,4,6\}$とする。このとき、次の集合を求めよ。
（1）$\small \overline{A} \cap \overline{B}$
（2）$\small \overline{A} \cup \overline{B}$

解法のPoint

補集合同士の和集合や共通部分を求める問題は、ドモルガンの法則を利用することで考えやすくなる。

補足：集合を説明する際に頻出の数学用語

・「$\small n$以上（以下）」：$\small n$を含み大きい（小さい）数。
・「$\small n$より～」：$\small n$は含まない。
・「$\small n$未満」：$\small n$を含まずにそれより小さい数。
・整数：$\small -2$や$\small 0$や$\small 1$など小数・分数を含まない数。
・正の整数：整数のうちプラスのもの。0は含まれない。
・負の整数：整数のうちマイナスのもの。0は含まれない。
・自然数：1以上の整数（正の整数と同じ）。

　解説（1）

補集合同士の共通部分を求める問題なので、ドモルガンの法則

$$\small \overline{A}\cap\overline{B}=\overline{A\cup B}$$

を用いることで、「和集合 $\small \overline{A \cup B}$」の補集合として考えていきます。

まず、和集合 $\small A \cup B$は、$\small A$と$\small B$を合わせた集合なので

$$\small A\cup B=\{1,2,4,6,7\}$$

と求まります。この補集合が求めたい集合 $\small \overline{A \cup B}$になります。つまり、全体集合である10より小さい自然数のうち、1,2,4,6,7以外の集合なので、3,5,8,9が該当します。

補足：10より小さい自然数

「10より小さい」とは10は含まれないという点に注意しましょう。また、自然数は「1以上の整数」です。つまり、10より小さい自然数とは、「1,2,3,4,5,6,7,8,9」となります。
集合の問題では、「正の整数」や「自然数」、「～より大きい」、「～未満」など数に関する数学用語を正確に理解できていないと集合の考え方を理解していても正答できなくなってしまいます。
今一度よく出る用語を確認しておきましょう。

よって、$\small \overline{A}\cap \overline{B}=\overline{A \cup B}=\color{red}{\{3,5,8,9\}}$…【答】.

　解説（2）

補集合同士の和集合を求める問題なので、ドモルガンの法則

$$\small \overline{A}\cup\overline{B}=\overline{A\cap B}$$

を用いることで、「共通部分 $\small \overline{A \cap B}$」の補集合として考えていきます。

$\small A$と$\small B$の共通部分 $\small A \cap B$は、両方に当てはまる集合なので

$$\small A \cap B =\{4\}$$

となります。この補集合が求めたい集合 $\small \overline{A \cap B}$になります。すなわち、10より小さい自然数のうち、4以外のものが該当するので、$\small \overline{A}\cup\overline{B}=\overline{A\cap B}=\color{red}{\{1,2,3,5,6,7,8,9\}}$…【答】.

応用問題｜ドモルガンの法則を用いた集合の特定

集合の特定

難易度：★★☆☆

全体集合 $\small U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$の部分集合$\small A,B$について
$$\small \overline{A}\cap \overline{B}=\{1,2,5,8\},\space A\cap B=\{3\},\space \overline{A} \cap B=\{4,7,10\}$$ がわかっている。このとき、$\small A,\space B,\space A\cap \overline{B}$を求めよ。
[昭和薬大]

解法のPoint

・集合で表された要素をもとにベン図を穴埋めしていこう。
・ベン図が完成したら、指定された集合の範囲を確認し、要素を求める。

　解説

全体集合と、集合$\small A,B$の関係をベン図で表すと、一般的に以下の4つの領域に分けることができます。

以降、問題文の条件をもとに、4つの領域に当てはまる要素を穴埋めしていきます。

ドモルガンの法則より、$\small \overline{A}\cap \overline{B}=\overline{A \cup B}$なので、$\small 1,2,5,8$は$\small A,B$以外の部分、すなわち領域①に該当します。

$\small A\cap B$は$\small A,B$の共通部分なので、領域③に該当します。

最後に、$\small \overline{A}\cap B$は『$\small A$以外と$\small B$』の共通部分なので、『$\small A$ではないが$\small B$である部分』となり、領域④に該当します。

残った要素は$\small 6,9$になるので、これが残った領域②に当てはまります。

よって、ベン図の各領域は以下のように埋めることができました。

あとは問題で問われている集合をベン図をもとに解答すればOKです。$\small A\cap\overline{B}$は『$\small A$と$\small B$以外の共通部分』なので『$\small A$だけども$\small B$ではない部分』、すなわち領域②になります。

$\small A=\{3,6,9\}$,
$\small B=\{3,4,7,10\}$,
$\small A\cap \overline{B}=\{6,9\}$…【答】.

ドモルガンの法則の実用例

最後におまけとして、ドモルガンの法則が実際にどのような場面で利用されているか、一例を紹介します。

プログラミングで条件式を記述する際、ドモルガンの法則を知っていると、条件式をよりシンプルに表現できます。

例えば、「条件Aに該当しない」かつ「条件Bに該当しない」場合に処理Xを実行する、という内容をコーディングしたいとします。

この条件をそのまま記述すると、次のようになります。

if not 条件A and not 条件B:
# 処理X

しかし、この書き方では、どのようなときに処理Xが実行されるのかが直感的に分かりにくく、やや複雑に見えてしまいます。

ここで、この条件は$\small \overline{A} \cap \overline{B}$（AではないかつBでもない）という集合で表現できるので、ドモルガンの法則でシンプルにまとめると、$\small \overline{A \cup B}$と表現できます。

これをプログラムで表すと、次のようになります。

if not (条件A or 条件B):
# 処理X

このように書き換えることで、「AまたはBのどちらにも該当しない場合に処理Xが実行される」と、一目で理解しやすくなります。

このように、ドモルガンの法則は、プログラミングにおいて条件式を整理し、コードの可読性（読みやすさ）を高めるために活用されます。

本記事のまとめ

今回は、ドモルガンの法則について、ベン図を用いた公式の確認から、覚え方のコツ、問題の解き方まで解説しました。

補集合どうしの和集合や共通部分といった複雑な集合をシンプルに整理するうえで、非常に重要な知識です。公式をしっかり理解・暗記し、問題で使いこなせるように復習しておきましょう。

今回は以上です。お疲れさまでした！